13. Финансовая математика: #211456

Пусть кредит взят на $ n $ лет. Сумма кредита $ S = 5 $ млн руб.
Ежегодное уменьшение долга:
$$ d = \frac{S}{n} = \frac{5}{n} \text{ млн руб} $$
Долг на июль каждого года:
после $1$-го года: $ S- d ,$
после $2$-го года: $ S- 2d ,$
$… $
после $ n $-го года: $ 0 .$

В январе каждого года долг увеличивается на $20\%,$ то есть умножается на коэффициент $ k = 1.2 .$

Выплата в году $ m $ состоит из:
процентов за год: $ 0.2 \cdot (S- (m-1)d) ,$
части основного долга: $ d .$

Таким образом, выплата в году $ m $:
$$ P_m = 0.2 \cdot (S- (m-1)d) + d $$
Общая сумма выплат:
$$ P_{\text{общ}} = \sum_{m=1}^{n} P_m = \sum_{m=1}^{n} \left[ 0.2 \cdot (S- (m-1)d) + d \right] $$
Разделим сумму на две части:
$$ P_{\text{общ}} = \sum_{m=1}^{n} d + 0.2 \sum_{m=1}^{n} (S- (m-1)d) $$
Первая сумма:
$$ \sum_{m=1}^{n} d = n \cdot d = n \cdot \frac{S}{n} = S $$
Вторая сумма — это сумма арифметической прогрессии:
$$ \sum_{m=1}^{n} (S- (m-1)d) = nS- d \sum_{m=1}^{n} (m-1) = nS- d \cdot \frac{(n-1)n}{2} $$
Подставим $ d = \frac{S}{n} $:
$$ = nS- \frac{S}{n} \cdot \frac{(n-1)n}{2} = nS- S \cdot \frac{n-1}{2} = S \left( n- \frac{n-1}{2} \right) = S \cdot \frac{2n- (n-1)}{2} = S \cdot \frac{n+1}{2} $$
Таким образом:
$$ P_{\text{общ}} = S + 0.2 \cdot S \cdot \frac{n+1}{2} = S + 0.1S(n+1) $$
Подставим $ S = 5 $:
$$ P_{\text{общ}} = 5 + 0.1 \cdot 5 \cdot (n+1) = 5 + 0.5(n+1) $$
По условию общая сумма выплат равна $7.5$ млн руб.:
$$ 5 + 0.5(n+1) = 7.5 $$ $$ 0.5(n+1) = 2.5 $$ $$ n+1 = 5 $$ $$ n = 4 $$
Ответ: $4.$