13. Финансовая математика: #211454

Пусть $ S = 419\ 375 $ рублей — сумма кредита, $ x $ рублей — размер ежегодного платежа.
Коэффициент увеличения долга: $ k = 1 + 0.2 = 1.2 .$

Составим уравнение для погашения кредита за 4 года с равными платежами:

После первого года $($январь $2023)$: долг $ S \cdot k .$
После выплаты $ x $: долг $ S \cdot k- x .$

После второго года $($январь $2024)$: долг $ (S \cdot k- x) \cdot k .$
После выплаты $ x $: долг $ (S \cdot k- x) \cdot k- x .$

После третьего года $($январь $2025)$: долг $ ((S \cdot k- x) \cdot k- x) \cdot k .$
После выплаты $ x $: долг $ ((S \cdot k- x) \cdot k- x) \cdot k- x .$

После четвертого года $($январь $2026)$: долг $ (((S \cdot k- x) \cdot k- x) \cdot k- x) \cdot k .$
После выплаты $ x $: долг должен быть равен $0$:
$$ (((S \cdot k- x) \cdot k- x) \cdot k- x) \cdot k- x = 0 $$
Раскроем скобки:
$$ S \cdot k^4- x \cdot k^3- x \cdot k^2- x \cdot k- x = 0 $$ Вынесем $ x $:
$$ S \cdot k^4 = x (k^3 + k^2 + k + 1) $$ Отсюда:
$$ x = \frac{S \cdot k^4}{k^3 + k^2 + k + 1} $$
Подставим $ S = 419\,375 ,$ $ k = 1.2 = \frac{6}{5} $:
$$ k^2 = \left(\frac{6}{5}\right)^2 = \frac{36}{25}, \quad k^3 = \left(\frac{6}{5}\right)^3 = \frac{216}{125}, \quad k^4 = \left(\frac{6}{5}\right)^4 = \frac{1\ 296}{625} $$
Вычислим знаменатель:
$$ k^3 + k^2 + k + 1 = \frac{216}{125} + \frac{36}{25} + \frac{6}{5} + 1 $$ Приведем к общему знаменателю $125$:
$$ = \frac{216}{125} + \frac{36 \cdot 5}{125} + \frac{6 \cdot 25}{125} + \frac{125}{125} = \frac{216 + 180 + 150 + 125}{125} = \frac{671}{125} $$
Теперь числитель:
$$ S \cdot k^4 = 419\,375 \cdot \frac{1\ 296}{625} $$ Упростим:
$$ 419\,375 : 625 = 671 \quad (\text{так как } 625 \cdot 671 = 419\,375) $$ Таким образом:
$$ S \cdot k^4 = 671 \cdot 1296 $$
Тогда:
$$ x = \frac{671 \cdot 1\ 296}{\frac{671}{125}} = 671 \cdot 1\ 296 \cdot \frac{125}{671} = 1\ 296 \cdot 125 = 162\,000 $$
Ежегодный платеж $ x = 162\,000 $ рублей.
Общая сумма выплат за $4$ года:
$$ 4 \cdot 162\,000 = 648\,000 \text{ рублей} $$
Ответ: $648\ 000.$