Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211451
В июле планируется взять кредит в банке на сумму $6$ млн рублей на срок $15$ лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на $ x\% $ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Найдите $ x ,$ если известно, что наибольший платеж по кредиту составит не более $1.9$ млн рублей, а наименьший — не менее $0.5$ млн рублей.
Пусть сумма кредита $ S = 6 $ млн руб., срок $ n = 15 $ лет.
Ежегодное уменьшение долга:
$$ d = \frac{S}{n} = \frac{6}{15} = 0.4 \text{ млн руб} $$
Долг на начало года $ m $ $($после увеличения на $ x\% )$:
$$ D_m = \left( S- (m-1)d \right) \cdot \left(1 + \frac{x}{100}\right) $$
Выплата в году $ m $ состоит из:
- процентов: $ \frac{x}{100} \cdot \left( S- (m-1)d \right) ,$
- части основного долга: $ d .$
Таким образом:
$$ P_m = d + \frac{x}{100} \cdot \left( S- (m-1)d \right) $$
Наибольший платеж — в первом году $($ $ m = 1 )$:
$$ P_1 = d + \frac{x}{100} \cdot S = 0.4 + \frac{x}{100} \cdot 6 $$ По условию:
$$ P_1 \leq 1.9 $$
Наименьший платеж — в последнем году $( m = 15 )$:
$$ P_{15} = d + \frac{x}{100} \cdot d = 0.4 + \frac{x}{100} \cdot 0.4 $$ По условию:
$$ P_{15} \geq 0.5 $$
Решим неравенства:
$1.$ Для $ P_1 $:
$$ 0.4 + 0.06x \leq 1.9 $$ $$ 0.06x \leq 1.5 $$ $$ x \leq \frac{1.5}{0.06} = 25 $$
$2.$ Для $ P_{15} $:
$$ 0.4 + 0.004x \geq 0.5 $$ $$ 0.004x \geq 0.1 $$ $$ x \geq \frac{0.1}{0.004} = 25 $$
Таким образом, $ x \leq 25 $ и $ x \geq 25 ,$ значит, $ x = 25 .$
Ответ: $25.$
20
