13. Финансовая математика: #211465

Обозначим сумму кредита $ S = 1200 $ тыс. руб.
Коэффициент начисления процентов: $ k = 1 + 0.01 = 1.01 .$

По условию, с сентября $2026$ по июнь $2027$ $( 10$ месяцев$)$ долг уменьшается на одинаковую сумму каждый месяц.
$15$ июня $2027$ года долг составляет $400$ тыс. руб., значит, за $10$ месяцев долг уменьшился на:
$$ 1200- 400 = 800 \text{ тыс. руб.} $$
Ежемесячное уменьшение:
$$ \frac{800}{10} = 80 \text{ тыс. руб.} $$

Таким образом, долг на $15$-е число каждого месяца $($начиная с августа $2026)$ составляет:

Теперь найдем выплаты за каждый месяц.
В начале месяца $(1$-го числа$)$ долг увеличивается на $1\%.$ Затем, с $2$-го по $14$-е число, производится выплата, и $15$-го числа долг становится на $80$ тыс. руб. меньше (кроме последнего месяца, когда он погашается полностью).

Выплата в месяце $ n $ состоит из:

• процентов на долг на начало месяца,
• части основного долга $(80$ тыс. руб. для месяцев с сентября $2026$ по июнь $2027,$ а в июле $2027$ — весь оставшийся долг).

Обозначим $ D_n $ — долг на $15$-е число $ n $-го месяца.
Тогда на $1$-е число следующего месяца долг становится $ 1.01 \cdot D_n .$
Выплата в следующем месяце:
$$ P = 1.01 \cdot D_n- D_{n+1} $$

Для месяцев с сентября $2026$ по июнь $2027$: $ D_{n+1} = D_n- 80 .$
Для июля $2027$: $ D_{n+1} = 0 .$

Таким образом, выплаты по месяцам:

1. Сентябрь $2026$: $ P_1 = 1.01 \cdot 1200- 1120 = 1212- 1120 = 92 $
2. Октябрь $2026$: $ P_2 = 1.01 \cdot 1120- 1040 = 1131.2- 1040 = 91.2 $
3. Ноябрь $2026$: $ P_3 = 1.01 \cdot 1040- 960 = 1050.4- 960 = 90.4 $
4. Декабрь $2026$: $ P_4 = 1.01 \cdot 960- 880 = 969.6- 880 = 89.6 $
5. Январь $2027$: $ P_5 = 1.01 \cdot 880- 800 = 888.8- 800 = 88.8 $
6. Февраль $2027$: $ P_6 = 1.01 \cdot 800- 720 = 808- 720 = 88 $
7. Март $2027$: $ P_7 = 1.01 \cdot 720- 640 = 727.2- 640 = 87.2 $
8. Апрель $2027$: $ P_8 = 1.01 \cdot 640- 560 = 646.4- 560 = 86.4 $
9. Май $2027$: $ P_9 = 1.01 \cdot 560- 480 = 565.6- 480 = 85.6 $
10. Июнь $ 2027$: $ P_{10} = 1.01 \cdot 480- 400 = 484.8- 400 = 84.8 $
11. Июль $2027$: $ P_{11} = 1.01 \cdot 400- 0 = 404 $

Теперь найдем общую сумму выплат:
$$ P_{\text{общ}} = P_1 + P_2 + \dots + P_{11} $$

Заметим, что выплаты с $ P_1 $ по $ P_{10} $ образуют арифметическую прогрессию с разностью $ -0.8 $:
$92, 91.2, 90.4, …, 84.8.$
Первый член $ a_1 = 92 ,$ последний $ a_{10} = 84.8 ,$ количество $ n = 10 .$
Сумма:
$$ S_{10} = \frac{a_1 + a_{10}}{2} \cdot 10 = \frac{92 + 84.8}{2} \cdot 10 = \frac{176.8}{2} \cdot 10 = 88.4 \cdot 10 = 884 $$
Добавим $ P_{11} = 404 $:
$$ P_{\text{общ}} = 884 + 404 = 1288 \text{ тыс. руб.} $$

Таким образом, общая сумма выплат составляет $1$ млн $288$ тыс. руб.

Ответ: $1288.$