Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211464
В июле $2025$ года планируется взять кредит на $600$ тысяч рублей. Условия его возврата таковы:
- в январе $2026, 2027$ и $2028$ годов долг возрастает на $r\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- в январе $2029, 2030$ и $2031$ годов долг возрастает на $15\%$ по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;
- к июлю $2031$ года долг должен быть полностью погашен.
Чему равно $r,$ если общая сумма выплат составит $930$ тысяч рублей?
Пусть сумма кредита $S = 600$ тыс. руб. Кредит погашается в течение $6$ лет $($с июля $2025$ по июль $2031),$ причем долг уменьшается каждый год на одинаковую величину. Так как к июлю $2031$ года долг должен быть погашен полностью, ежегодное уменьшение долга составляет:
$$ \frac{600}{6} = 100 \text{ тыс. руб.} $$
Таким образом, долг на июль каждого года:
- июль $2025$: $600$
- июль $2026$: $500$
- июль $2027$: $400$
- июль $2028$: $300$
- июль $2029$: $200$
- июль $2030$: $100$
- июль $2031$: $0$
В январе каждого года долг увеличивается на определенный процент:
- $2026, 2027, 2028$: на $r\%$
- $2029, 2030, 2031$: на $15\%$
Выплата в каждом году состоит из двух частей:
- Проценты, начисленные в январе на остаток долга на конец предыдущего года.
- Часть основного долга $(100$ тыс. руб.$).$
Обозначим:
- $P_1, P_2, P_3$ — выплаты в $2026, 2027, 2028$ годах.
- $P_4, P_5, P_6$ — выплаты в $2029, 2030, 2031$ годах.
Тогда:
$$ P_1 = \frac{r}{100} \cdot 600 + 100$$ $$P_2 = \frac{r}{100} \cdot 500 + 100$$ $$P_3 = \frac{r}{100} \cdot 400 + 100$$ $$P_4 = \frac{15}{100} \cdot 300 + 100$$ $$ P_5 = \frac{15}{100} \cdot 200 + 100$$ $$P_6 = \frac{15}{100} \cdot 100 + 100 $$
Общая сумма выплат:
$$ P_{\text{общ}} = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5 + P_6 $$
Подставим выражения:
$$ P_{\text{общ}} = \left( \frac{r}{100} \cdot 600 + 100 \right) + \left( \frac{r}{100} \cdot 500 + 100 \right) + \left( \frac{r}{100} \cdot 400 + 100 \right) + \left( \frac{15}{100} \cdot 300 + 100 \right) + \left( \frac{15}{100} \cdot 200 + 100 \right) + \left( \frac{15}{100} \cdot 100 + 100 \right) $$
Выделим части:
- Сумма основного долга: $100 \cdot 6 = 600$ тыс. руб.
- Проценты за первые три года: $\frac{r}{100} (600 + 500 + 400) = \frac{r}{100} \cdot 1500 = 15r.$
- Проценты за последние три года: $\frac{15}{100} (300 + 200 + 100) = \frac{15}{100} \cdot 600 = 90.$
Таким образом:
$$ P_{\text{общ}} = 600 + 15r + 90 = 690 + 15r $$
По условию общая сумма выплат равна $930$ тыс. руб.:
$$ 690 + 15r = 930 $$ $$ 15r = 930- 690 = 240 $$ $$ r = \frac{240}{15} = 16 $$
Ответ: $16.$
20
