Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
13. Финансовая математика: #211463
$15$ января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере $1$ млн рублей. Условия его возврата таковы:
- $1$-го числа каждого месяца долг увеличивается на $ r \% $ по сравнению с концом предыдущего месяца, где $ r $ — целое число;
- со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- $15$-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.
| Дата | 15.01 | 15.02 | 15.03 | 15.04 | 15.05 | 15.06 | 15.07 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Долг (млн руб.) | $1$ | $0.6$ | $0.4$ | $0.3$ | $0.2$ | $0.1$ | $0$ |
Найдите наибольшее значение $ r ,$ при котором общая сумма выплат будет меньше $1.25$ млн рублей.
Обозначим коэффициент увеличения долга:
$$ k = 1 + \frac{r}{100} $$
Составим таблицу выплат по месяцам.
Январь:
- Долг на $15.01$: $1$ млн руб.
- $1$ февраля долг увеличивается: $ 1 \cdot k = k $ млн руб.
- Выплата в феврале: $ k- 0.6 $ млн руб. (так как после выплаты долг становится $0.6$ млн руб.).
Февраль:
- Долг на $15.02$: $0.6$ млн руб.
- $1$ марта долг увеличивается: $ 0.6 \cdot k $ млн руб.
- Выплата в марте: $ 0.6k- 0.4 $ млн руб.
Март:
- Долг на $15.03$: $0.4$ млн руб.
- $1$ апреля долг увеличивается: $ 0.4 \cdot k $ млн руб.
- Выплата в апреле: $ 0.4k- 0.3 $ млн руб.
Апрель:
- Долг на $15.04$: $0.3$ млн руб.
- $1$ мая долг увеличивается: $ 0.3 \cdot k $ млн руб.
- Выплата в мае: $ 0.3k- 0.2 $ млн руб.
Май:
- Долг на $15.05$: $0.2$ млн руб.
- $1$ июня долг увеличивается: $ 0.2 \cdot k $ млн руб.
- Выплата в июне: $ 0.2k- 0.1 $ млн руб.
Июнь:
- Долг на $15.06$: $0.1$ млн руб.
- $1$ июля долг увеличивается: $ 0.1 \cdot k $ млн руб.
- Выплата в июле: $ 0.1k $ млн руб. (так как долг должен быть погашен полностью).
Теперь найдем общую сумму выплат:
$$ P_{\text{общ}} = (k- 0.6) + (0.6k- 0.4) + (0.4k- 0.3) + (0.3k- 0.2) + (0.2k- 0.1) + (0.1k) $$ $$ = k + 0.6k + 0.4k + 0.3k + 0.2k + 0.1k- (0.6 + 0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1) $$ $$ = (1 + 0.6 + 0.4 + 0.3 + 0.2 + 0.1)k- 1.6 $$ $$= 2.6k- 1.6 $$
По условию общая сумма выплат должна быть меньше $1.25$ млн руб.:
$$ 2.6k- 1.6 < 1.25 $$ Решим неравенство:
$$ 2.6k < 1.25 + 1.6 = 2.85 \ k < \frac{2.85}{2.6} = \frac{285}{260} = \frac{57}{52} = 1 + \frac{5}{52} $$
Так как $ k = 1 + \frac{r}{100} ,$ то:
$$ 1 + \frac{r}{100} < 1 + \frac{5}{52} \ \frac{r}{100} < \frac{5}{52} \ r < \frac{500}{52} = \frac{125}{13} \approx 9.615 $$ Поскольку $ r $ — целое число, наибольшее возможное значение $ r = 9 .$
Ответ: $9.$
20
