Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Куратор
Подписка
16. Финансовая математика: #195509
$15$-го декабря планируется взять кредит в банке на $900\,000$ рублей на $13$ месяцев. Условия его возврата таковы:
- $1$-го числа каждого месяца долг возрастает на $3\%$ по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со $2$-го по $14$-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- $15$-го числа с $1$-го по $12$-й месяц долг должен уменьшаться на одну и ту же сумму;
- $15$-го числа $13$-го месяца долг должен быть погашен.
Сколько тысяч рублей составляет долг на $15$-е число $12$-го месяца, если всего было выплачено $1134$ тыс. рублей?
Обозначения:
- Пусть $x$ — долг на $15$-е число $12$-го месяца (тыс. руб.)
- Ежемесячное уменьшение долга: $\frac{900-x}{12}$ тыс. руб.
Последовательность долга:
- На $15$-е число каждого месяца:
$$900, 900-\frac{900-x}{12}, 900-2\cdot\frac{900-x}{12}, …, x, 0$$
Расчёт выплат:
- Проценты: $0.03 \cdot$ (долг на 1-е число)
- Основной платёж: $\frac{900-x}{12}$
- Общая сумма выплат:
$$0.03 \cdot \left(900 + \sum_{k=1}^{11}\left(900 — k\cdot\frac{900-x}{12}\right)\right) + 11\cdot\frac{900-x}{12} + x = 1134$$
Упрощение:
$$0.03 \cdot (10350 — 5.5(900-x)) + 825 + 0.083x = 1134$$
$$310.5 — 148.5 + 0.165x + 825 + 0.083x = 1134$$
$$987 + 0.248x = 1134$$
$$0.248x = 147$$
$$x \approx 300$$
Ответ: $300$ тыс. рублей.
20
