19. Числа и их свойства: #193109

$1.$ Пусть число $A$ имеет вид $abc$, где $a$, $b$, $c$ — его цифры.

$2.$ Если $c < 3$, то сумма цифр числа $A + 6$ будет на $6$ больше, чем сумма цифр числа $A$. Это противоречит условию задачи, так как сумма цифр должна делиться на $12$. Следовательно, $c \geq 4.$

$3.$ Рассмотрим три случая:

$a)$ $abc,$ $b < 9.$ Число $A + 6$ имеет вид $a(b+1)(c-4)$, сумма цифр числа $A + 6$ на $3$ меньше суммы цифр числа $A.$

$b)$ $a9c,$ $a < 9.$ Число $A + 6$ имеет вид $(a+1)(c-4),$ сумма цифр числа $A + 6$ на $12$ меньше суммы цифр числа $A.$

$c)$ $99c,$ число $A + 6$ имеет вид $100(c-4),$ сумма цифр числа $A + 6$ на $21$ меньше суммы цифр числа $A.$

$4.$ Условиям задачи удовлетворяют числа из второго случая. Подберем число $A,$ чтобы сумма его цифр делилась на $12.$

$5.$ Наименьшее возможное число $A = 699.$
Проверим:
Сумма цифр числа $699{:}$
$6 + 9 + 9 = 24,$ делится на $12.$
Число $A + 6 = 705$.
Сумма цифр числа $705$:
$7 + 0 + 5 = 12,$ делится на $12.$

Ответ: $699.$