19. Числа и их свойства: #193108

$1.$ Найдем число, которое при делении на $4,$ $5$ и $6$ дает остаток $1.$

$2.$ Так как число дает одинаковый остаток $1$ при делении на $4,$ $5$ и $6,$ то оно дает остаток $1$ и при делении на $60$ (наименьшее общее кратное чисел $4$, $5$ и $6).$

$3.$ Значит, число имеет вид: $60k + 1,$ где $k$ — натуральное число.

$4.$ Для трехзначного числа:
$$100 \leq 60k + 1 \leq 999$$ $$99 \leq 60k \leq 998$$ $$1.65 \leq k \leq 16.63$$
$5.$ Так как $k$ — целое число, то $2 \leq k \leq 16.$
$6.$ Перебираем возможные значения $k$ и проверяем условия:
При $k = 2\Rightarrow $ $60 \cdot 2 + 1 = 121$ (цифры не убывают).
При $k = 3\Rightarrow $ $60 \cdot 3 + 1 = 181$ (цифры не убывают).
При $k = 4\Rightarrow $ $60 \cdot 4 + 1 = 241$ (цифры не убывают).
При $k = 5\Rightarrow $ $60 \cdot 5 + 1 = 301$ (цифры не убывают).
При $k = 6\Rightarrow $ $60 \cdot 6 + 1 = 361$ (цифры не убывают).
При $k = 7\Rightarrow $ $60 \cdot 7 + 1 = 421$ (подходит: $4 > 2 > 1).$
При $k = 8\Rightarrow $ $60 \cdot 8 + 1 = 481$ (цифры не убывают).
При $k = 9\Rightarrow $ $60 \cdot 9 + 1 = 541$ (подходит: $5 > 4 > 1).$
При $k = 10\Rightarrow $ $60 \cdot 10 + 1 = 601$ (цифры не убывают).
При $k = 11\Rightarrow $ $60 \cdot 11 + 1 = 661$ (цифры не убывают).
При $k = 12\Rightarrow $ $60 \cdot 12 + 1 = 721$ (подходит: $7 > 2 > 1).$
При $k = 13\Rightarrow $ $60 \cdot 13 + 1 = 781$ (цифры не убывают).
При $k = 14\Rightarrow $ $60 \cdot 14 + 1 = 841$ (подходит: $8 > 4 > 1).$
При $k = 15\Rightarrow $ $60 \cdot 15 + 1 = 901$ (цифры не убывают).
При $k = 16\Rightarrow $ $60 \cdot 16 + 1 = 961$ (подходит: $9 > 6 > 1).$

$7.$ Проверяем делимость найденных чисел:
Число $421{:}$
$421 : 4 = 105$ $($остаток $1);$
$421 : 5 = 84$ $($остаток $1);$
$421 : 6 = 70$ $($остаток $1).$
Число $541{:}$
$541 : 4 = 135$ $($остаток $1);$
$541 : 5 = 108$ $($остаток $1);$
$541 : 6 = 90$ $($остаток $1).$
Число $721{:}$
$721 : 4 = 180$ $($остаток $1);$
$721 : 5 = 144$ $($остаток $1);$
$721 : 6 = 120$ $($остаток $1).$
Число $841{:}$
$841 : 4 = 210$ $($остаток $1);$
$841 : 5 = 168$ $($остаток $1);$
$841 : 6 = 140$ $($остаток $1).$
Число $961{:}$
$961 : 4 = 240$ $($остаток $1);$
$961 : 5 = 192$ $($остаток $1);$
$961 : 6 = 160$ $($остаток $1).$

Ответ: числа, удовлетворяющие всем условиям задачи: $421,$ $541,$ $721,$ $841,$ $961.$