19. Числа и их свойства: #193106

Чтобы найти четырехзначное натуральное число, кратное $45,$ все цифры которого различны и нечетны, необходимо учесть два условия:

$1.$ Число должно быть кратно $45,$ то есть оно должно делиться на $5$ и на $9.$
$2.$ Все цифры числа должны быть различными и нечетными.

Для того, чтобы число делилось на $5,$ оно должно оканчиваться на $0$ или $5.$ Поскольку все цифры должны быть нечетными, последняя цифра должна быть $5.$

Для того, чтобы число делилось на $9,$ сумма его цифр должна быть кратна $9.$ Учитывая, что последняя цифра $5,$ сумма оставшихся трех цифр должна быть такой, чтобы в сумме с $5$ давать число, кратное $9.$

Рассмотрим возможные комбинации цифр:
Нечетные цифры: $1, 3, 5, 7, 9.$
Последняя цифра фиксирована как $5.$

Проверим комбинации оставшихся цифр:
$1 + 3 + 7 + 5 = 16$ $($не кратно $9);$
$1 + 3 + 9 + 5 = 18$ $($кратно $9).$

Таким образом, одна из возможных комбинаций цифр — $1, 3, 9, 5.$ Составим число из этих цифр, чтобы оно было кратно $45{:}$
Число $1\space395{:}$
Последняя цифра $5,$ значит, делится на $5.$
Сумма цифр $1 + 3 + 9 + 5 = 18$, что кратно $9.$

Следовательно, число $1\space395$ удовлетворяет всем условиям.

Ответ: $1\space395.$