11 класс Вероятность и статистика Случайная величина и статистика Нормальное распределение и правило трех сигм

Нормальное распределение и правило трех сигм

Содержание

В прошлом уроке вы узнали, что такое плотность непрерывной величины: вероятность попасть в промежуток равна площади под ее графиком. В этом уроке разберем самую важную плотность — нормальную: ее формулу, роль параметров $\mu$ и $\sigma$, перевод значения в «шаги $\sigma$» и правило трех сигм в задачах.

Колокол, который вы уже видели

В уроке алгебры «Закон больших чисел» гистограмма большого числа измерений складывалась в колокол. Вспомним главное: у нормальной кривой есть центр $\mu$ и ширина $\sigma$; в интервал $[\mu-\sigma;\ \mu+\sigma]$ попадает около 68% значений, в $[\mu-2\sigma;\ \mu+2\sigma]$ — около 95%, в $[\mu-3\sigma;\ \mu+3\sigma]$ — около 99,7%. Нормальной обычно оказывается величина, которая складывается из многих небольших независимых влияний: рост, масса фасованного товара, ошибка измерения.

На языке прошлого урока колокол — это горка плотности: вероятность попасть в промежуток равна площади под горкой над ним, а вся площадь равна 1. Пусть рост юношей 17 лет описывается моделью с $\mu=175$ см и $\sigma=7$ см. Почему тогда рост 200 см считают почти невозможным, хотя такие люди встречаются? Ответ получим в конце урока.

Колокол N(175; 7): полосы 68%, 95%, 99,7% кончаются раньше 200 см — Площадь под горкой над μ ± σ, μ ± 2σ, μ ± 3σ — около 68%, 95% и 99,7%; точка 200 лежит дальше всех трех полос

{"questions":[{"content":"Сопоставьте интервал и долю значений нормальной величины в нем.[[matcher-1]]","widgets":{"matcher-1":{"type":"matcher","labels":["$[\\mu-\\sigma;\\ \\mu+\\sigma]$","$[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$","$[\\mu-3\\sigma;\\ \\mu+3\\sigma]$"],"items":[["Около 68%"],["Около 95%"],["Около 99,7%"],["Около 50%"]]}},"instruction":"Сопоставьте","hints":["Три интервала правила: $\\mu\\pm\\sigma$, $\\mu\\pm2\\sigma$, $\\mu\\pm3\\sigma$.","Доли: $68\\%$, $95\\%$, $99{,}7\\%$."],"step":1},{"content":"Распределите величины: какие обычно хорошо описывает нормальное распределение, а какие нет.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Обычно нормальная","Не нормальная"],"items":[["Рост взрослых людей","Ошибка измерения длины","Вес пакетов с крупой одной фасовки"],["Число очков на кубике","Номер выпавшей карты","Число орлов при одном броске монеты"]]}},"instruction":"Распределите величины","hints":["Нормальное — результат сложения многих небольших независимых случайных влияний.","Число очков на кубике принимает 6 значений и не имеет колокола."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

В формуле колокола видны его центр и ширина

У нормальной кривой есть точная формула. Выводить ее не будем — это делают в высшей школе, — но прочитать ее нужно уметь.

Определение

Непрерывная величина $X$ имеет нормальное распределение с параметрами $\mu$ и $\sigma>0$, если ее плотность равна

Запись: $X\sim N(\mu;\ \sigma)$. В этом курсе второй параметр — стандартное отклонение $\sigma$; дисперсия равна $D(X)=\sigma^2$, а $E(X)=\mu$.

$$f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$$

Что видно в формуле. Число $\mu$ стоит только в скобке $(x-\mu)^2$: при $x=\mu$ показатель равен 0, и кривая достигает вершины; значения $x=\mu+d$ и $x=\mu-d$ дают одинаковый квадрат, поэтому кривая симметрична относительно $\mu$. Число $\sigma$ стоит в двух местах. В знаменателе показателя оно растягивает кривую вдоль оси, а множитель $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}$ — высота вершины: чем шире горка, тем она ниже, ведь площадь всегда равна 1. Расстояние $\sigma$ от центра будем называть шагом горки.

Шаг горки виден и на графике. В точках $\mu-\sigma$ и $\mu+\sigma$ кривая меняет выпуклость — это точки перегиба; высота в них около $0{,}61$ высоты вершины. На расстоянии $2\sigma$ от центра высота около $0{,}14$ вершины, на расстоянии $3\sigma$ — около $0{,}01$: горка почти легла на ось.

Пример 1

Условие. Плотность величины $X$ равна $f(x)=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-10)^2}{18}}$. Найдите $\mu$, $\sigma$ и интервал, где лежит около 68% значений.

Решение. В скобке $x-10$, значит, $\mu=10$. В знаменателе показателя $2\sigma^2=18$, откуда $\sigma^2=9$ и $\sigma=3$. Проверка по множителю: $\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}=\frac{1}{3\sqrt{2\pi}}$ — совпадает. Около 68% значений лежит в $[10-3;\ 10+3]=[7;\ 13]$.

Ответ: $X\sim N(10;\ 3)$, интервал $[7;\ 13]$.

Формула плотности N(10; 3): μ = 10, σ² = 9, σ = 3; полоса 68% между точками перегиба 7 и 13 — μ = 10 — вершина, σ = 3 — шаг до перегиба; полоса [1; 19] при «σ = 9» захватывает почти всю горку, а не 68%

Ошибка

Как ошибаются. Видят в формуле число 9 (или 18) и принимают его за $\sigma$: «$\sigma=9$, 68% значений лежит в $[1;\ 19]$».

Проверка на числах. На краю полосы $\mu\pm\sigma$ высота кривой должна быть около $0{,}61$ вершины. А в точке 19 она равна $e^{-\frac{81}{18}}=e^{-4{,}5}\approx0{,}011$ вершины — горка там уже лежит на оси. Полоса $[1;\ 19]$ — это $\mu\pm3\sigma$, в ней почти все значения, а не 68%.

Где сломалось. В формуле стоит $\sigma^2$, а не $\sigma$. Из $\sigma^2$ всегда извлекайте корень и выписывайте $\sigma$ отдельно, прежде чем строить интервалы.

{"questions":[{"content":"[[image-1]]На рисунке — график плотности нормальной величины. Отмечены значения на оси. Какие $\\mu$ и $\\sigma$ у этой величины, если точки перегиба кривой находятся в $52$ и $68$?[[choice-1]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2026/10/tolrshanmpbe.svg"},"choice-1":{"type":"choice","options":["$\\mu=68,\\ \\sigma=8$","$\\mu=60,\\ \\sigma=4$","$\\mu=60,\\ \\sigma=8$","$\\mu=60,\\ \\sigma=16$"],"explanations":["Центр колокола — вершина над 60, а не точка 68","Взята половина расстояния от центра до перегиба; $\\sigma$ — все расстояние $60-52=8$","","Это расстояние между точками перегиба $68-52=16$, то есть $2\\sigma$"],"answer":[2]}},"hints":["Вершина (центр) над $60$, значит $\\mu=60$.","Точки перегиба стоят на расстоянии $\\sigma$ от центра: $60-52=8$."],"step":1},{"content":"Плотность нормальной величины: $f(x)=\\frac{1}{5\\sqrt{2\\pi}}e^{-\\frac{(x-30)^2}{50}}$. Решавр рассуждает: «$2\\sigma^2=50$, значит, $\\sigma=25$, и около $68\\%$ значений лежит в интервале $[5;\\ 55]$». В чем ошибка?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, интервал $[5;\\ 55]$ верен","$25$ — это $\\sigma^2$, а $\\sigma=5$; верный интервал $[25;\\ 35]$","Центр равен $-30$, интервал $[-55;\\ -5]$","$68\\%$ лежит в $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$, а не в $[\\mu-\\sigma;\\ \\mu+\\sigma]$"],"explanations":["При $\\sigma=25$ множитель перед $e$ был бы $\\frac{1}{25\\sqrt{2\\pi}}$, а в формуле $\\frac{1}{5\\sqrt{2\\pi}}$","","В скобке $x-30$, значит, кривая симметрична относительно $x=30$, $\\mu=30$","В интервале $\\mu\\pm2\\sigma$ лежит около $95\\%$, а $68\\%$ — в $\\mu\\pm\\sigma$"],"answer":[1]}},"hints":["В показателе стоит $2\\sigma^2$: $2\\sigma^2=50$, откуда $\\sigma^2=25$.","$\\sigma=\\sqrt{25}=5$; это подтверждает и множитель $\\frac{1}{5\\sqrt{2\\pi}}$.","$68\\%$ значений — в $[30-5;\\ 30+5]=[25;\\ 35]$."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Расстояние до центра удобно мерить шагами сигмы

Масса пакета крупы $X\sim N(1000;\ 5)$ граммов. Пакет весит 990 г. Много это или мало? Сами по себе «10 г легче» ничего не говорят: если массы пакетов разбросаны с $\sigma=50$ г, это мелочь, а при $\sigma=5$ г — заметно. Поэтому отклонение делят на шаг горки: $\frac{990-1000}{5}=-2$. Пакет лежит на два шага $\sigma$ левее центра.

Правило

Число $z$ показывает, на сколько шагов $\sigma$ значение $x$ отстоит от центра $\mu$. Знак $z$ показывает сторону: минус — левее центра, плюс — правее.

$$z=\frac{x-\mu}{\sigma}$$

Переход от $x$ к $z$ называют стандартизацией. Это сдвиг на $\mu$ и сжатие в $\sigma$ раз: любая нормальная горка превращается в одну и ту же горку $N(0;\ 1)$ с центром 0 и шагом 1. Поэтому правило 68–95–99,7 одно для всех нормальных величин: оно говорит о числе шагов, а не о граммах и сантиметрах.

Формулу можно повернуть и найти значение по числу шагов: $x=\mu+z\sigma$. Пакет, который лежит на 1,6 шага правее центра, весит $1000+1{,}6\cdot5=1008$ г. Так же получают границы полос: два шага влево и вправо — это $[1000-10;\ 1000+10]=[990;\ 1010]$, там около 95% пакетов.

Две оси одной горки N(1000; 5): масса в граммах и шаги σ — Две оси одной горки: 990 г на оси x — это z = −2 на оси шагов σ

Пример 2

Условие. Ученик написал контрольную по математике на 82 балла, а по физике — на 75 баллов. Результаты класса по математике — $N(70;\ 8)$, по физике — $N(60;\ 12)$. Какой результат сильнее относительно класса?

Решение. Математика: $z=\frac{82-70}{8}=1{,}5$. Физика: $z=\frac{75-60}{12}=1{,}25$. По математике ученик на полтора шага выше центра, по физике — на 1,25 шага.

Ответ: результат по математике сильнее, хотя отрыв от среднего в баллах меньше (12 против 15).

{"questions":[{"content":"Расстояние значения $x$ от центра нормальной величины в $\\sigma$ равно $z=$ [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$(x-\\mu)\\sigma$","$\\frac{x}{\\sigma}-\\mu$","$\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$","$\\frac{x-\\mu}{\\sigma^2}$"],"answer":2}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Сначала находят отклонение от центра $x-\\mu$.","Затем делят на $\\sigma$."],"step":1},{"content":"Рост взрослых $X\\sim N(175;\\ 6)$, второй параметр — $\\sigma$. Найдите $z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$ для роста $x=190$. Ответ — десятичная дробь. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["2,5","2.5"]}},"hints":["$z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$ показывает, на сколько $\\sigma$ значение отстоит от центра.","$z=\\frac{190-175}{6}=\\frac{15}{6}=2{,}5$.","Ответ: 2,5."],"step":1},{"content":"Дисперсия роста $D(X)=36$, $\\mu=170$. Найдите $z$ для роста $x=182$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"2"}},"hints":["Сначала $\\sigma=\\sqrt{D}=\\sqrt{36}=6$.","$z=\\frac{182-170}{6}=2$.","Ответ: 2."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Почти все значения лежат в трех шагах от центра

Из правила 68–95–99,7 в задачах чаще всего нужна последняя строка. За пределами $[\mu-3\sigma;\ \mu+3\sigma]$ остается $100\%-99{,}7\%=0{,}3\%$ значений — примерно 3 из 1000. Это так мало, что в практике значение дальше $3\sigma$ от центра считают редким событием: если оно появилось, ищут причину.

Правило трех сигм

Если $X\sim N(\mu;\ \sigma)$, то практически все значения (около 99,7%) лежат в интервале

$$[\mu-3\sigma;\ \mu+3\sigma]$$

Правило работает и в обратную сторону. Если известно, что практически все значения укладываются в интервал длины $L$, то эта длина — шесть шагов: $L=6\sigma$, и $\sigma\approx\frac{L}{6}$. Центр при этом — середина интервала.

Пример 3

Условие. Практически все болты партии имеют диаметр от 19,7 до 20,3 мм; диаметр нормален. Найдите $\mu$ и $\sigma$, а затем долю болтов толще 20,3 мм.

Решение. «Практически все» — это $[\mu-3\sigma;\ \mu+3\sigma]$. Центр — середина интервала: $\mu=\frac{19{,}7+20{,}3}{2}=20$. Длина интервала $L=20{,}3-19{,}7=0{,}6=6\sigma$, откуда $\sigma=0{,}1$. Для границы 20,3 найдем $z=\frac{20{,}3-20}{0{,}1}=3$: это $\mu+3\sigma$. Вне $\mu\pm3\sigma$ остается 0,3%. Горка симметрична, поэтому правее $\mu+3\sigma$ лежит ровно половина: $0{,}3\%:2=0{,}15\%$, то есть 1–2 болта из 1000.

Ответ: $\mu=20$ мм, $\sigma=0{,}1$ мм; толще 20,3 мм около 0,15% болтов (1–2 из 1000).

Болты: практически все диаметры от 19,7 до 20,3 мм, это μ ± 3σ; σ = 0,1; правее 20,3 мм (z = 3) около 0,15% — Интервал 19,7–20,3 мм — это μ ± 3σ, длина 0,6 = 6σ; правее 20,3 мм (z = 3) — около 0,15%

Проверьте в модели ниже, как $\mu$ и $\sigma$ меняют горку и полосы $\mu\pm k\sigma$. Попробуйте подобрать $\sigma$ так, чтобы 95% значений лежали в интервале $[40;\ 60]$ (центр уже стоит на 50).

zb-kolokol

{"questions":[{"content":"$X\\sim N(175;\\ 7)$ (второй параметр — $\\sigma$). Практически все значения ($99{,}7\\%$) лежат в интервале $[\\mu-3\\sigma;\\ \\mu+3\\sigma]$. Найдите верхнюю границу. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"196"}},"hints":["$\\mu+3\\sigma=175+3\\cdot7$.","$175+21=196$.","Ответ: 196."],"step":1},{"content":"Практически все значения нормальной величины лежат в интервале $[130;\\ 190]$. Найдите $\\sigma$. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"10"}},"hints":["Практически все — это $[\\mu-3\\sigma;\\ \\mu+3\\sigma]$, длина интервала $L=6\\sigma$.","$L=190-130=60$, $\\sigma=\\frac{60}{6}=10$.","Ответ: 10."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Хвост с одной стороны — половина остатка

Горка симметрична относительно $\mu$, поэтому все, что лежит вне интервала $[\mu-k\sigma;\ \mu+k\sigma]$, делится поровну на левый и правый хвост. Если внутри доля $p$, то каждый хвост равен $\frac{1-p}{2}$.

Граница	Внутри интервала	Оба хвоста	Один хвост
$\mu\pm\sigma$	68%	32%	16%
$\mu\pm2\sigma$	95%	5%	2,5%
$\mu\pm3\sigma$	99,7%	0,3%	0,15%

Теперь вернемся к вопросу из начала. Для роста $N(175;\ 7)$ найдем $z=\frac{200-175}{7}\approx3{,}57$: значение 200 см лежит дальше трех шагов от центра. Граница $\mu+3\sigma=175+21=196$ см, правее нее остается только правый хвост — около 0,15%, примерно 1–2 человека из 1000. А 200 см еще правее 196, значит, такой рост встречается еще реже. Поэтому рост 200 см и называют почти невозможным в этой модели: он бывает, но очень редко.

Правее 196 см лежит 0,15%, а не 0,3%: 200 см — еще правее, z ≈ 3,57 — Вне μ ± 3σ — 0,3%, но правее 196 см лежит только правый хвост: около 0,15%

Ошибка

Как ошибаются. «Вне $[175-21;\ 175+21]=[154;\ 196]$ лежит 0,3% значений, значит, выше 196 см — 0,3% юношей».

Проверка на числах. Тогда ниже 154 см тоже было бы 0,3% — по симметрии хвосты равны, — и вне интервала оказалось бы $0{,}3\%+0{,}3\%=0{,}6\%$, а не 0,3%.

Где сломалось. 0,3% — это оба хвоста вместе. Для одной стороны делите остаток пополам: $\frac{0{,}3\%}{2}=0{,}15\%$.

Такую же ловушку вы видели в уроке «Закон больших чисел» на примере $2\sigma$. На трех сигмах она опаснее: и 0,3%, и 0,15% кажутся «очень мало», поэтому вдвое завышенный ответ не бросается в глаза.

Точнее: сколько людей выше 200 см в этой модели

Скрыть

Правило трех сигм дает только оценку «меньше 0,15%». Точная площадь под горкой правее $z\approx3{,}57$ равна примерно $0{,}00018$, то есть около 2 человек из 10 000. Как находить такие площади, разберем в уроке «Вероятности для нормальной величины».

{"questions":[{"content":"Время поездки $X\\sim N(40;\\ 4)$ минут (второй параметр — $\\sigma$). Решавр: «Вне интервала $[28;\\ 52]$ лежит около $0{,}3\\%$ поездок, значит, дольше $52$ минут длится около $0{,}3\\%$ поездок». В чем ошибка?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Ошибки нет, дольше $52$ минут — около $0{,}3\\%$","$52$ — это $\\mu+2\\sigma$, дольше $52$ минут — около $2{,}5\\%$","Вне интервала лежит $99{,}7\\%$, дольше $52$ минут — около $50\\%$","$0{,}3\\%$ — это оба хвоста, дольше $52$ минут — около $0{,}15\\%$"],"explanations":["$0{,}3\\%$ лежит вне интервала с обеих сторон: и короче $28$, и дольше $52$ минут","$52=40+3\\cdot4$, это $\\mu+3\\sigma$, а $\\mu+2\\sigma=48$","$99{,}7\\%$ лежит внутри интервала трех сигм, а не вне его",""],"answer":[3]}},"hints":["$[28;\\ 52]=[40-3\\cdot4;\\ 40+3\\cdot4]$ — интервал трех сигм, вне его $100\\%-99{,}7\\%=0{,}3\\%$.","Эти $0{,}3\\%$ делятся поровну между левым и правым хвостом.","Дольше $52$ минут — около $0{,}15\\%$ поездок."],"level":"повышенный","step":1},{"content":"Около $99{,}7\\%$ значений нормальной величины лежит в интервале $[\\mu-3\\sigma;\\ \\mu+3\\sigma]$. Какая доля значений лежит левее $\\mu-3\\sigma$? Ответ — десятичная дробь. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["0,0015","0.0015"]}},"hints":["Вне интервала $100\\%-99{,}7\\%=0{,}3\\%$ значений, это два хвоста.","Кривая симметрична, хвосты равны: каждый $0{,}3\\%:2=0{,}15\\%$, то есть $0{,}0015$.","Ответ: 0,0015."],"level":"повышенный","step":1}],"mix":1}

Вывод

Нормальную величину задают два числа: $\mu$ — где вершина горки, $\sigma$ — ее шаг. Зная их, вы сразу говорите, где лежат 68%, 95% и практически все значения, и по $z$ видите, насколько необычно конкретное значение. Вспомнить главное поможет горка:

Часто задаваемые вопросы

Почему в одних книгах пишут N(μ; σ), а в других N(μ; σ²)?

Это две договоренности о записи, и обе встречаются. В этом курсе второй параметр — $\sigma$. В чужой задаче всегда проверяйте, что стоит на втором месте: если это дисперсия, сначала извлеките корень.

Может ли нормальная величина принять значение дальше 3σ от центра?

Может: кривая нигде не касается оси, просто площадь хвостов очень мала — около 0,3% на оба. Поэтому правило говорит «практически все», а не «все».

Зачем нужна стандартизация, если есть правило 68–95–99,7?

Правило работает только для целого числа шагов: 1, 2 или 3. Значение $z$ показывает положение любой точки, в том числе на 1,5 или 2,7 шага, и позволяет сравнивать значения из разных распределений. Дальше по $z$ будем находить точные вероятности.

Почему рост людей считают нормальным, если он не бывает отрицательным?

Нормальная модель приближенная. Для роста $N(175;\ 7)$ ноль лежит на 25 шагов $\sigma$ левее центра, и площадь там настолько мала, что ошибка модели незаметна. Модель описывает область около центра, где лежат почти все значения.

Награды за урок