Нормальное распределение и правило трех сигм

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"График плотности величины $X\\sim N(\\mu;\\ \\sigma)$ достигает наибольшего значения в точке [[fill_choice-1]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["$x=\\sigma$","$x=\\mu$","$x=\\mu+\\sigma$","$x=0$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Колокол симметричен относительно своего центра.","Вершина — над центром $x=\\mu$."],"step":1},{"id":"1","content":"График плотности величины $X\\sim N(\\mu;\\ \\sigma)$ симметричен относительно прямой [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["$x=\\sigma$","$x=\\mu$","$y=\\mu$","$x=0$"],"answer":1}},"instruction":"Выберите верный вариант","hints":["Кривая одинаково спадает влево и вправо от центра.","Ось симметрии — вертикаль через центр: $x=\\mu$."],"step":1},{"id":"2","content":"Дисперсия нормальной величины равна $36$. Найдите $\\sigma$ — второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$. [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":["6","6"]}},"hints":["$\\sigma=\\sqrt{D}$.","$\\sqrt{36}=6$.","Ответ: 6."],"step":1},{"id":"2","content":"Дисперсия нормальной величины равна $0{,}25$. Найдите $\\sigma$ — второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$. Ответ — десятичная дробь. [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":["0,5","0.5"]}},"hints":["$\\sigma=\\sqrt{D}$.","$\\sqrt{0{,}25}=0{,}5$.","Ответ: 0,5."],"step":1},{"id":"3","content":"Измерили $2000$ значений величины $X\\sim N(175;\\ 7)$ (второй параметр — $\\sigma$). Сколько примерно значений больше $189$? Используйте правило $68$–$95$–$99{,}7$. [[input-3]]","widgets":{"input-3":{"type":"input","answer":"50"}},"hints":["$z=\\frac{189-175}{7}=2$, то есть $189=\\mu+2\\sigma$.","Доля одного хвоста за этой границей: $0{,}025$.","$2000\\cdot0{,}025=50$. Ответ: 50."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"3","content":"Измерили $4000$ значений величины $X\\sim N(100;\\ 15)$ (второй параметр — $\\sigma$). Сколько примерно значений меньше $85$? Используйте правило $68$–$95$–$99{,}7$. [[input-4]]","widgets":{"input-4":{"type":"input","answer":"640"}},"hints":["$z=\\frac{85-100}{15}=-1$, то есть $85=\\mu-1\\sigma$.","Доля одного хвоста за этой границей: $0{,}16$.","$4000\\cdot0{,}16=640$. Ответ: 640."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"4","content":"$X\\sim N(64;\\ 8)$ (второй параметр — $\\sigma$). Найдите $z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$ для $x=52$. Ответ — десятичная дробь; минус вводите дефисом. [[input-5]]","widgets":{"input-5":{"type":"input","answer":["-1,5","-1.5"]}},"hints":["$z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$.","$z=\\frac{52-64}{8}=-1,5$.","Ответ: -1,5."],"step":1},{"id":"4","content":"$X\\sim N(70;\\ 4)$ (второй параметр — $\\sigma$). Найдите $z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$ для $x=60$. Ответ — десятичная дробь; минус вводите дефисом. [[input-6]]","widgets":{"input-6":{"type":"input","answer":["-2,5","-2.5"]}},"hints":["$z=\\frac{x-\\mu}{\\sigma}$.","$z=\\frac{60-70}{4}=-2,5$.","Ответ: -2,5."],"step":1},{"id":"5","content":"$X\\sim N(100;\\ 15)$, второй параметр — $\\sigma$. Решавр нашел интервал для $95\\%$ значений: $[100-2\\cdot225;\\ 100+2\\cdot225]$. Какой интервал верен?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$[55;\\ 145]$","$[-350;\\ 550]$","$[70;\\ 130]$","$[85;\\ 115]$"],"explanations":["Это интервал $\\mu\\pm3\\sigma$, в нем около 99,7%","Прибавили $2\\sigma^2$ вместо $2\\sigma$","","Это интервал $\\mu\\pm\\sigma$, в нем около 68%"],"answer":[2]}},"hints":["В формуле $\\mu\\pm2\\sigma$ берут $\\sigma=15$, а не $\\sigma^2=225$.","$100\\pm2\\cdot15$: от $70$ до $130$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"5","content":"$X\\sim N(60;\\ 4)$, второй параметр — $\\sigma$. Решавр нашел интервал для $95\\%$ значений: $[60-2\\cdot16;\\ 60+2\\cdot16]$. Какой интервал верен?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$[56;\\ 64]$","$[52;\\ 68]$","$[48;\\ 72]$","$[28;\\ 92]$"],"explanations":["Это интервал $\\mu\\pm\\sigma$, в нем около 68%","","Это интервал $\\mu\\pm3\\sigma$, в нем около 99,7%","Прибавили $2\\sigma^2$ вместо $2\\sigma$"],"answer":[1]}},"hints":["В формуле $\\mu\\pm2\\sigma$ берут $\\sigma=4$, а не $\\sigma^2=16$.","$60\\pm2\\cdot4$: от $52$ до $68$."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"6","content":"$X\\sim N(160;\\ 6)$ (второй параметр — $\\sigma$). Практически все значения ($99{,}7\\%$) лежат в интервале $[\\mu-3\\sigma;\\ \\mu+3\\sigma]$. Найдите нижнюю границу. [[input-7]]","widgets":{"input-7":{"type":"input","answer":["142","142"]}},"hints":["$\\mu-3\\sigma=160-3\\cdot6$.","$160-18=142$.","Ответ: 142."],"step":1},{"id":"6","content":"$X\\sim N(25;\\ 1{,}5)$ (второй параметр — $\\sigma$). Практически все значения ($99{,}7\\%$) лежат в интервале $[\\mu-3\\sigma;\\ \\mu+3\\sigma]$. Найдите нижнюю границу. Ответ — десятичная дробь. [[input-8]]","widgets":{"input-8":{"type":"input","answer":["20,5","20.5"]}},"hints":["$\\mu-3\\sigma=25-3\\cdot1{,}5$.","$25-4{,}5=20{,}5$.","Ответ: 20,5."],"step":1},{"id":"7","content":"$X\\sim N(50;\\ 5)$ (второй параметр — $\\sigma$). Около $95\\%$ значений лежит в интервале $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$. Распределите значения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["В интервале $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$","Вне этого интервала"],"items":[["$43$","$57$","$59$"],["$38$","$62$","$66$"]]}},"instruction":"Распределите значения","hints":["$\\mu-2\\sigma=50-2\\cdot5=40$, $\\mu+2\\sigma=50+2\\cdot5=60$.","Внутри $[40;\\ 60]$: 43, 57, 59; вне: 38, 62, 66."],"step":1},{"id":"7","content":"$X\\sim N(80;\\ 4)$ (второй параметр — $\\sigma$). Около $95\\%$ значений лежит в интервале $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$. Распределите значения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["В интервале $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$","Вне этого интервала"],"items":[["$74$","$86$","$79$"],["$70$","$90$","$93$"]]}},"instruction":"Распределите значения","hints":["$\\mu-2\\sigma=80-2\\cdot4=72$, $\\mu+2\\sigma=80+2\\cdot4=88$.","Внутри $[72;\\ 88]$: 74, 86, 79; вне: 70, 90, 93."],"step":1},{"id":"8","content":"Нормальная величина такова, что около $95\\%$ ее значений лежит в интервале $[120;\\ 160]$. Найдите $\\sigma$ — второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$. [[input-9]]","widgets":{"input-9":{"type":"input","answer":["10","10"]}},"hints":["Интервал $95\\%$ — это $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$, его центр — $\\mu$.","$\\mu=\\frac{120+160}{2}=140$, длина $40=4\\sigma$.","$\\sigma=\\frac{40}{4}=10$. Ответ: 10."],"step":1},{"id":"8","content":"Нормальная величина такова, что около $95\\%$ ее значений лежит в интервале $[26;\\ 38]$. Найдите $\\sigma$ — второй параметр записи $N(\\mu;\\ \\sigma)$. [[input-10]]","widgets":{"input-10":{"type":"input","answer":["3","3"]}},"hints":["Интервал $95\\%$ — это $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$, его центр — $\\mu$.","$\\mu=\\frac{26+38}{2}=32$, длина $12=4\\sigma$.","$\\sigma=\\frac{12}{4}=3$. Ответ: 3."],"step":1},{"id":"9","content":"$X\\sim N(80;\\ 6)$. Решавр: «Правее $86$ лежат $32\\%$ значений, потому что в $[\\mu-\\sigma;\\ \\mu+\\sigma]$ лежит $68\\%$». Какая доля значений лежит правее $86$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["68%","16%","34%","32%"],"explanations":["Это доля внутри интервала $\\mu\\pm\\sigma$, а не в хвосте","","Это доля между центром $80$ и $86$, а не правее $86$","Это доля вне интервала в обе стороны — оба хвоста вместе"],"answer":[1]}},"hints":["Граница — это $\\mu\\pm k\\sigma$ с одной стороны от центра.","Вне интервала два равных хвоста, нужный — половина."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"$X\\sim N(20;\\ 2)$. Решавр: «Левее $16$ лежат $5\\%$ значений, потому что в $[\\mu-2\\sigma;\\ \\mu+2\\sigma]$ лежит $95\\%$». Какая доля значений лежит левее $16$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["95%","47,5%","2,5%","5%"],"explanations":["Это доля внутри интервала $\\mu\\pm2\\sigma$, а не в хвосте","Это доля между $16$ и центром $20$, а не левее $16$","","Это доля вне интервала в обе стороны — оба хвоста вместе"],"answer":[2]}},"hints":["Граница — это $\\mu\\pm k\\sigma$ с одной стороны от центра.","Вне интервала два равных хвоста, нужный — половина."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"У нормальной величины изменили параметры: было $N(50;\\ 5)$, стало $N(60;\\ 10)$ (второй параметр — $\\sigma$). Что произошло с графиком плотности?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Сдвинулся влево и стал шире и ниже","Сдвинулся вправо и стал уже и выше","Не сдвинулся, стал шире и ниже","Сдвинулся вправо и стал шире и ниже"],"explanations":["Направление сдвига определяет изменение $\\mu$","Ширина зависит от изменения $\\sigma$: чем больше $\\sigma$, тем шире и ниже кривая","Центр определяется $\\mu$, а оно изменилось",""],"answer":[3]}},"hints":["Центр определяет $\\mu$, а ширину и высоту — $\\sigma$.","$\\mu$ изменилось 50→60, $\\sigma$ изменилась 5→10."],"step":1},{"id":"10","content":"У нормальной величины изменили параметры: было $N(70;\\ 8)$, стало $N(60;\\ 4)$ (второй параметр — $\\sigma$). Что произошло с графиком плотности?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Сдвинулся влево и стал шире и ниже","Не сдвинулся, стал уже и выше","Сдвинулся влево и стал уже и выше","Сдвинулся вправо и стал уже и выше"],"explanations":["Ширина зависит от изменения $\\sigma$: чем больше $\\sigma$, тем шире и ниже кривая","Центр определяется $\\mu$, а оно изменилось","","Направление сдвига определяет изменение $\\mu$"],"answer":[2]}},"hints":["Центр определяет $\\mu$, а ширину и высоту — $\\sigma$.","$\\mu$ изменилось 70→60, $\\sigma$ изменилась 8→4."],"step":1}]}</textarea></pre></div>