Задачи по комбинаторике

{"questions":[{"content":"В классе $31$ человек. $7$ из них на уроках рисуют в тетради, $8$ — делают из бумаги поделки, а $20$ — прилежно занимаются. Сколько учеников этого класса одновременно рисуют и делают поделки? (Ученики, которые прилежно занимаются, не отвлекаются на другие дела.)[[image-1]][[fill_choice_big-511]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_break.svg","width":"300"},"fill_choice_big-511":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего в классе $31$ человек, но $20$ из них прилежно занимаются. Остается: $$31-20=11$$ $7$ учеников рисуют, а $8$ — делают поделки: $$7+8=15$$ Получается: $$15-11 = 4$$ $4$ ученика посчитаны два раза, они и будут одновременно рисовать и делать поделки."]},{"content":"Иксератопс купил $4$ пиджака и $2$ брюк. Сколько различных нарядов может собрать Иксератопс из своей одежды?[[image-4]][[fill_choice_big-542]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/kostyum-prodavecz-konsultant-garderob-veshalka-magazin.svg","width":"299"},"fill_choice_big-542":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$6$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Иксератопс может выбрать один из четырех пиджаков и к каждому из них подобрать брюки:$$4\\cdot2=8$$"]},{"content":"На перемене $18$ учеников в классе делают поделки. Из пластилина делает поделки $9$ учеников, а из бумаги — $15.$ Сколько человек делает поделки из пластилина и бумаги одновременно?[[image-9]][[fill_choice_big-593]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/bumazhnyj-samoletik-1.svg","width":"301"},"fill_choice_big-593":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего в классе $18$ человек. $9$ учеников делают поделки из пластилина, а $15$ — из бумаги: $$9+15=24$$ Получается: $$24-18= 6$$ $6$ учеников посчитаны два раза."]},{"content":"Динозавры бросают три игральные кости. Сколько различных вариантов выпадения костей существует?[[image-16]][[fill_choice_big-634]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/quiz.svg","width":"299"},"fill_choice_big-634":{"type":"fill_choice_big","options":["$216$","$36$","$18$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["У первой кости $6$ вариантов выпадения. С каждым из $6$ вариантов выпадения первой кости может выпасть одна из $6$ сторон следующей кости:$$6\\cdot6\\cdot6=216$$"]},{"content":"В туалете $2$ крана для умывания. Каждый может быть закрыт или открыт. Сколькими способами может течь вода в туалете?[[image-100]][[fill_choice_big-675]]","widgets":{"image-100":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/santehnik-2.svg","width":"299"},"fill_choice_big-675":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Первый кран может быть открыт или закрыт, то есть иметь два состояния. Второй кран также может иметь два различных состояния: $$2\\cdot2=4$$"]},{"content":"Сколько различных двухзначных натуральных чисел можно составить из двух цифр? (Цифры могут повторяться).[[image-81]][[fill_choice_big-716]]","widgets":{"image-81":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/08/v-ochkah-s-knigoi-kniga-tetrad-pishet-01-1.svg","width":"298"},"fill_choice_big-716":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть наши цифры — это $1$ и $5.$<br />Тогда можно составить числа: $15, 51, 11,55.$"]},{"content":"На родительское собрание пришли $8$ пап и $25$ мам. Всего в классе $29$ учеников. У скольких учеников пришли мама и папа на собрание вместе, если учесть, что у каждого ученика на собрании присутствовал хотя бы один родитель?[[image-64]][[fill_choice_big-757]]","widgets":{"image-64":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/uchitel-doska-globus.svg","width":"300"},"fill_choice_big-757":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего на собрание пришло мам и пап: $$8+25=33$$ Всего учеников в классе $29,$ значит у части из них пришли и мама и папа: $$33-29=4$$"]},{"content":"Бросают четыре монеты. Сколько различных вариантов выпадения монет существует?[[image-49]][[fill_choice_big-798]]","widgets":{"image-49":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/take-out-rubbish-2.svg","width":"299"},"fill_choice_big-798":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$8$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["У каждой монеты по два варианта выпадения: орел или решка. С каждым вариантом одной монеты может быть по два варианта следующей: $$2\\cdot2\\cdot2\\cdot2=16$$"]},{"content":"В магазине продается $5$ видов рыбок и $3$ вида аквариумов. Сколькими способами можно выбрать себе рыбку и аквариум?[[image-36]][[fill_choice_big-839]]","widgets":{"image-36":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/02/ryba.svg","width":"300"},"fill_choice_big-839":{"type":"fill_choice_big","options":["$15$","$8$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["С каждой из $5$ рыбок можно купить $3$ различных аквариума:$$5\\cdot3=15$$"]},{"content":"Сколькими способами можно расставить три книги на книжной полке?[[image-25]][[fill_choice_big-880]]","widgets":{"image-25":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/knizhnyj-shkaf.svg","width":"300"},"fill_choice_big-880":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["$1$ книга + $2$ книга + $3$ книга,<br />$1$ книга + $3$ книга + $2$ книга,<br />$2$ книга + $1$ книга + $3$ книга,<br />$2$ книга + $3$ книга + $1$ книга,<br />$3$ книга + $1$ книга + $2$ книга,<br />$3$ книга + $2$ книга + $1$ книга."]}]}

{"questions":[{"content":"В классе $15$ человек. $9$ из них на уроках рисуют цветными карандашами, $6$ — делают из бумаги поделки, а $5$ — прилежно занимаются. Сколько учеников этого класса одновременно рисуют и делают поделки? (Ученики, которые прилежно занимаются, не отвлекаются на другие дела.)[[image-1]][[fill_choice_big-511]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/klass-parta-uchitel-uchenik.svg","width":"300"},"fill_choice_big-511":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$6$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего в классе $15$ человек, но $5$ из них прилежно занимаются. Остается: $$15-5=10$$ $9$ учеников рисуют, а $6$ — делают поделки: $$9+6=15$$ Получается: $$15-10 = 5$$ $5$ учеников посчитаны два раза, они и будут одновременно рисовать и делать поделки."]},{"content":"У Образавра есть $3$ шапки и $2$ пальто. Сколько различных нарядов может собрать Образавр из своей одежды?[[image-4]][[fill_choice_big-542]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/makintosh.svg","width":"299"},"fill_choice_big-542":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Образавр может выбрать одну из трех шапок и к каждой из них подобрать одно из двух пальто:$$3\\cdot2=6$$"]},{"content":"На перемене все $20$ учеников в классе рисуют. Карандашом рисует $11$ учеников, а ручкой — $14.$ Сколько человек рисует ручкой и карандашом одновременно?[[image-9]][[fill_choice_big-593]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/ruchka.svg","width":"300"},"fill_choice_big-593":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего в классе $20$ человек. $11$ учеников рисуют карандашом, а $14$ — ручкой: $$11+14=25$$ Получается: $$25-20= 5$$ $5$ учеников посчитаны два раза, они и рисуют карандашом и ручкой."]},{"content":"Динозавры бросают две игральные кости. Сколько различных вариантов выпадения костей существует?[[image-16]][[fill_choice_big-634]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/board-game.svg","width":"299"},"fill_choice_big-634":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$6$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["У первой кости $6$ вариантов выпадения. С каждым из $6$ вариантов выпадения первой кости может выпасть одна из $6$ сторон второй кости:$$6\\cdot6=36$$"]},{"content":"В столовой $3$ крана для умывания. Каждый может быть закрыт или открыт. Сколькими способами может течь вода в столовой?[[image-100]][[fill_choice_big-675]]","widgets":{"image-100":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/kran.svg","width":"299"},"fill_choice_big-675":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$16$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Первый кран может быть открыт или закрыт, то есть иметь два состояния. Второй кран и последующий также могут иметь два различных состояния: $$2\\cdot2\\cdot2=8$$","Например:$\\newline$ О+О+О$\\newline$ О+О+З$\\newline$ О+З+О$\\newline$ О+З+З$\\newline$ З+О+О$\\newline$ З+О+З$\\newline$ З+З+О$\\newline$ З+З+З"]},{"content":"Сколько различных натуральных чисел можно составить из двух цифр? (Цифры не должны повторяться).[[image-81]][[fill_choice_big-716]]","widgets":{"image-81":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/04/bolit-golova.svg","width":"298"},"fill_choice_big-716":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть наши цифры — это $1$ и $3.$<br />Тогда можно составить числа: $13, 31.$"]},{"content":"На родительское собрание пришли $10$ пап и $18$ мам. Всего в классе $25$ учеников. У скольких учеников пришли мама и папа на собрание вместе, если учесть, что у каждого ученика на собрании присутствовал хотя бы один родитель?[[image-64]][[fill_choice_big-757]]","widgets":{"image-64":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/01/primer-doska.svg","width":"300"},"fill_choice_big-757":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$8$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего на собрание пришло мам и пап: $$18+10=28$$ Всего учеников в классе $25,$ значит у части из них пришли и мама и папа: $$28-25=3$$"]},{"content":"Бросают три монеты. Сколько различных вариантов выпадения монет существует?[[image-49]][[fill_choice_big-798]]","widgets":{"image-49":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/dengi.svg","width":"299"},"fill_choice_big-798":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$6$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["У каждой монеты по два варианта выпадения: орел или решка. С каждым вариантов одной монеты может быть по два варианта следующей: $$2\\cdot2\\cdot2=8$$"]},{"content":"Образавр не глядя берет из рюкзака два предмета. Сколько различных вариантов наборов предметов может взять Образавр, если в рюкзаке лежит линейка, карандаш и ручка?[[image-36]][[fill_choice_big-839]]","widgets":{"image-36":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/obrazavr_angl-2-urok_ryukzak.svg","width":"300"},"fill_choice_big-839":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$6$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Линейка + карандаш,<br />линейка + ручка, <br />карандаш + ручка."]},{"content":"В классе $22$ ученика. Каждый ученик на урок рисования принес листок дерева. $12$ человек принесло листья березы, а листья дуба принесло $15$ человек. Сколько учеников принесло листья обоих деревьев?[[image-25]][[fill_choice_big-880]]","widgets":{"image-25":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/osen-1.svg","width":"300"},"fill_choice_big-880":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$2$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего в классе $22$ человека. $12$ учеников принесло листья березы, а $15$ — дуба: $$12+15=27$$ Получается: $$27-22= 5$$ $5$ учеников посчитаны два раза, они и принесли листья обоих деревьев."]}]}

{"questions":[{"content":"В классе $20$ человек. $14$ из них на уроках рисуют цветными карандашами, $5$ — делают из бумаги поделки, а $4$ — прилежно занимаются. Сколько учеников этого класса одновременно рисуют и делают поделки? (Ученики, которые прилежно занимаются, не отвлекаются на другие дела.)[[image-1]][[fill_choice_big-511]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"300"},"fill_choice_big-511":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$4$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего в классе $20$ человек, но $4$ из них прилежно занимаются. Остается: $$20-4=16$$ $14$ учеников рисуют, а $5$ — делают поделки: $$14+5=19$$ Получается: $$19-16 = 3$$ $3$ ученика посчитаны два раза, они и будут одновременно рисовать и делать поделки."]},{"content":"Образавр хочет послать Решавру посылку. Для того чтобы завернуть посылку у него есть бумага в клеточку, в линеечку и в кружочек. В посылке он может передать одну из трех конфет: мятную, шоколадную или карамельную. Сколько различных посылок может послать Образавр?[[image-4]][[fill_choice_big-542]]","widgets":{"image-4":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2021/12/obrazavr-carrying-acake.svg","width":"299"},"fill_choice_big-542":{"type":"fill_choice_big","options":["$9$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Образавр может передать $3$ конфеты в $3$ разных упаковках: $$3\\cdot3=9$$ Например:$\\newline$ мятная конфета в клетчатой упаковке, $\\newline$мятная конфета в упаковке в линеечку, $\\newline$мятная конфета в упаковке в кружочек, $\\newline$шоколадная конфета в клетчатой упаковке$\\newline$ и т.д."]},{"content":"В магазине продаются $3$ вида ручек и $2$ вида карандашей. Сколькими способами можно купить набор, состоящий из карандаша и ручки?[[image-9]][[fill_choice_big-593]]","widgets":{"image-9":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/05/penal.svg","width":"300"},"fill_choice_big-593":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Ручку можно выбрать одним из трех способов, а карандаш — одним из двух: $$3\\cdot2=6$$ Например: $\\newline$ $1$ ручка + $1$ карандаш, $\\newline$ $2$ ручка + $1$ карандаш, $\\newline$ $3$ ручка + $1$ карандаш, $\\newline$ $1$ ручка + $2$ карандаш, $\\newline$ $2$ ручка + $2$ карандаш, $\\newline$ $3$ ручка + $2$ карандаш."]},{"content":"Меню столовой состоит из первого, второго и напитка. Причем у первого блюда есть $2$ разновидности: борщ и щи. У второго блюда два вида: мясо и рыба. Напитка в столовой также два: чай и компот. Сколько разновидностей обеда, состоящего из первого, второго и напитка может заказать Образавр?[[image-16]][[fill_choice_big-634]]","widgets":{"image-16":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/12/obrazavr_nakrytyj-stol.svg","width":"299"},"fill_choice_big-634":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$6$","$12$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Первым блюдом можно закачать один из двух супов. С каждым из супов можно заказать одно из двух вторых блюд и один из двух напитков: $$2\\cdot2\\cdot2=8$$ Например:$\\newline$борщ+мясо+чай,$\\newline$борщ+мясо+компот,$\\newline$борщ+рыба+чай,$\\newline$борщ+рыба+компот,$\\newline$щи+мясо+чай,$\\newline$щи+мясо+компот,$\\newline$щи+рыба+чай,$\\newline$щи+рыба+компот."]},{"content":"В аквапарке $4$ крана для умывания. Каждый может быть закрыт или открыт. Сколькими способами может течь вода в аквапарке?[[image-100]][[fill_choice_big-675]]","widgets":{"image-100":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/03/dush-vanna-moetsya-v-vannoj-2.svg","width":"299"},"fill_choice_big-675":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$4$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Первый кран может быть открыт или закрыт, то есть иметь два состояния. Второй кран и все последующие также могут иметь два различных состояния: $$2\\cdot2\\cdot2\\cdot2=16$$","Например:$\\newline$ О+О+О+О$\\newline$ О+О+О+З$\\newline$ О+О+З+О$\\newline$ О+О+З+З$\\newline$ О+З+О+О$\\newline$ О+З+О+З$\\newline$ О+З+З+О$\\newline$ О+З+З+З$\\newline$ З+О+О+О$\\newline$ З+О+О+З$\\newline$ З+О+З+О$\\newline$ З+О+З+З$\\newline$ З+З+О+О$\\newline$ З+З+О+З$\\newline$ З+З+З+О$\\newline$ З+З+З+З"]},{"content":"Сколько различных натуральных чисел можно составить из трех цифр? (Цифры не должны повторяться).[[image-81]][[fill_choice_big-716]]","widgets":{"image-81":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/convo-dinos.svg","width":"298"},"fill_choice_big-716":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$3$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Пусть наши цифры — это $1,2,$ и $3.$<br />Тогда можно составить числа: $123, 132, 213, 231, 321, 312.$"]},{"content":"На родительское собрание пришли $17$ пап и $28$ мам. Всего в классе $35$ учеников. У скольких учеников пришли мама и папа на собрание вместе, если учесть, что у каждого ученика на собрании присутствовал хотя бы один родитель?[[image-64]][[fill_choice_big-757]]","widgets":{"image-64":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/teacher.svg","width":"300"},"fill_choice_big-757":{"type":"fill_choice_big","options":["$10$","$35$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Всего на собрание пришло мам и пап: $$17+28=45$$ Всего учеников в классе $35,$ значит у части из них пришли и мама и папа: $$45-35=10$$"]},{"content":"Монету бросают два раза. Сколько различных вариантов выпадения монеты существует?[[image-49]][[fill_choice_big-798]]","widgets":{"image-49":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/11/svobodnoe13.svg","width":"299"},"fill_choice_big-798":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$6$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Орел — орел,<br />орел — решка,<br />решка — орел,<br />решка — решка."]},{"content":"В лыжном забеге участвуют Образавр, Решавр и Иксератопс. Сколько возможных вариантов распределения призовых мест существует?[[image-36]][[fill_choice_big-839]]","widgets":{"image-36":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/07/na-lyzhah-lyzhi-1-2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-839":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$9$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Образавр, Решавр и Иксератопс;<br />Образавр, Иксератопс и Решавр;<br />Иксератопс, Образавр и Решавр;<br />Иксератопс, Решавр и Образавр;<br />Решавр, Образавр и Иксератопс;<br />Решавр, Иксератопс и Образавр."]},{"content":"На школьный кружок пришло $4$ ученика. Сколькими способами можно рассадить пришедших учеников за $2$ парты?[[image-25]][[fill_choice_big-880]]","widgets":{"image-25":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/dumaet-primer-doska2-v2.svg","width":"300"},"fill_choice_big-880":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$2$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"step":1,"hints":["Первый + второй, третий + четвертый;<br />первый + третий, второй + четвертый;<br />первый + четвертый, второй + третий."]}]}