Задание 13. Задачи по стереометрии

{"questions":[{"content":"Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен $9.$ Найдите объем треугольной пирамиды $ABCA_1.$<br />[[fill_choice_big-1]][[image-46]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$1.5$","$1.7$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-46":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n1-13.svg","width":"300"}},"hints":["Используемые формулы:<br />Формула объема параллелепипеда: $V_{\\text{пар}} = S_{\\text{осн}} \\cdot h$<br />Формула объема пирамиды: $V_{\\text{пир}} = \\dfrac{1}{3}S_{\\text{осн}} \\cdot h$<br /><br />Основание пирамиды $ABCA_1$ (треугольник $ABC$) составляет ровно половину площади основания параллелепипеда $ABCD{:}$ $$S_{ABC} = \\frac{1}{2}S_{ABCD}$$Подставляем в формулу объема пирамиды:<br />$$V_{ABCA_1} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{1}{2}S_{ABCD} \\cdot h = \\frac{1}{6}S_{ABCD} \\cdot h$$ Учитывая, что $S_{ABCD} \\cdot h = 9$ (объем параллелепипеда), получаем: $$V_{ABCA_1} = \\frac{1}{6} \\cdot 9 = 1.5$$Объем пирамиды $ABCA_1$ равен $1.5.$"]},{"content":"Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $1,$ $2.$ Объем параллелепипеда равен $6.$ Найдите площадь его поверхности.[[fill_choice_big-7]][[image-87]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$22$","$28$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-87":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n2-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда: $$V = a \\cdot b \\cdot c$$Найдем третье ребро: $$c = \\frac{V}{a \\cdot b} = \\frac{6}{1 \\cdot 2} = 3$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\\cdot(1 \\cdot 2 + 1 \\cdot 3 + 2 \\cdot 3) =22$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $22.$"]},{"content":"Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны $5,$ $10.$ Объем параллелепипеда равен $750.$ Найдите площадь его поверхности.[[fill_choice_big-19]][[image-132]]","widgets":{"fill_choice_big-19":{"type":"fill_choice_big","options":["$550$","$600$","$500$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-132":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n3-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \\frac{V}{a \\cdot b} = \\frac{750}{5 \\cdot 10} = 15$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + ac + bc)$$Вычислим площадь:$$S = 2\\cdot(5 \\cdot 10 + 5 \\cdot 15 + 10 \\cdot 15)=550$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $550.$<br />"]},{"content":"Два ребра прямоугольного параллелепипеда равны $7$ и $4,$ а объем параллелепипеда равен $140.$ Найдите площадь поверхности этого параллелепипеда.[[fill_choice_big-43]][[image-181]]","widgets":{"fill_choice_big-43":{"type":"fill_choice_big","options":["$166$","$188$","$160$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-181":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n4-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямоугольного параллелепипеда:$$V = a \\cdot b \\cdot c$$Найдем третье ребро:$$c = \\frac{V}{a \\cdot b} = \\frac{140}{7 \\cdot 4} = 5$$Формула площади поверхности:$$S = 2(ab + bc + ac)$$Вычислим площадь:$$S = 2\\cdot(7 \\cdot 4 + 4 \\cdot 5 + 7 \\cdot 5)=166$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $166.$"]},{"content":"В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $AB,$ $BC$ и диагональ боковой грани $BC_1$ равны соответственно $7,$ $3$ и $3\\sqrt{5}.$ Найдите объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1.$[[fill_choice_big-89]][[image-234]]","widgets":{"fill_choice_big-89":{"type":"fill_choice_big","options":["$126$","$116$","$114$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-234":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n5-13.svg","width":"300"}},"hints":["Используем теорему Пифагора для нахождения высоты $CC_1{:}$<br />$$CC_1 = \\sqrt{(3\\sqrt{5})^2-3^2} = \\sqrt{45-9} = \\sqrt{36} = 6$$Найдем площадь основания:$$S_{\\text{осн}} = AB \\cdot BC = 7 \\cdot 3 = 21$$Вычислим объем параллелепипеда:$$V = CC_1 \\cdot S_{\\text{осн}} = 6 \\cdot 21 = 126$$Объем параллелепипеда равен $126.$"]},{"content":"В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ ребра $CD,$ $CB$ и диагональ $CD_1$ боковой грани равны соответственно $2,$ $4$ и $2\\sqrt{10}$. Найдите площадь поверхности параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1.$[[fill_choice_big-131]][[image-291]]","widgets":{"fill_choice_big-131":{"type":"fill_choice_big","options":["$88$","$83$","$84$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-291":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n6-13.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем высоту параллелепипеда $DD_1$ по теореме Пифагора:$$DD_1 = \\sqrt{(2\\sqrt{10})^2-2^2} = \\sqrt{40-4} = 6$$Площадь поверхности вычислим по формуле:$$S = 2(ab + bc + ac)$$где $a=CD=2,$ $b=CB=4,$ $c=DD_1=6.$<br /><br />Выполним вычисления:$$S = 2\\cdot(2 \\cdot 4 + 4 \\cdot 6 + 2 \\cdot 6) = 88$$Площадь поверхности параллелепипеда равна $88.$"]},{"content":"Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами $6$ и $8,$ боковое ребро равно $5.$ Найдите объем призмы.<br />[[fill_choice_big-212]][[image-352]]","widgets":{"fill_choice_big-212":{"type":"fill_choice_big","options":["$120$","$122$","$128$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-352":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n7-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема прямой призмы:$$V = S_{\\text{осн}} \\cdot h$$ Найдем площадь основания (прямоугольного треугольника):$$S_{\\text{осн}} = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 8 = 24$$ Вычислим объем:$$V = 24 \\cdot 5 = 120$$Объем призмы равен $120.$"]},{"content":"В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, один из катетов которого равен $2,$ а гипотенуза равна $\\sqrt{53}.$ Найдите объем призмы, если ее высота равна $3.$[[fill_choice_big-321]][[image-417]]","widgets":{"fill_choice_big-321":{"type":"fill_choice_big","options":["$21$","$23$","$25$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-417":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n8-13.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем второй катет по теореме Пифагора:$$b = \\sqrt{(\\sqrt{53})^2-2^2} = \\sqrt{53-4} = 7$$Вычислим площадь основания:$$S = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 7 = 7$$Найдем объем призмы:$$V = S \\cdot h = 7 \\cdot 3 = 21$$Объем призмы равен $21.$"]},{"content":"В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник, катеты которого равны $11$ и $5.$ Найдите объем призмы, если ее высота равна $4.$[[fill_choice_big-446]][[image-486]]","widgets":{"fill_choice_big-446":{"type":"fill_choice_big","options":["$110$","$100$","$105$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-486":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n9-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади прямоугольного треугольника:$$S = \\frac{1}{2}ab$$Вычислим площадь основания:$$S = \\frac{1}{2} \\cdot 11 \\cdot 5 = 27.5$$Формула объема призмы:$$V = S \\cdot h$$Найдем объем призмы:$$V = 27.5 \\cdot 4 = 110$$Объем призмы равен $110.$"]},{"content":"Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны $10,$ боковые ребра равны $13.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.[[image-595]][[fill_choice_big-843]]","widgets":{"image-595":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n10-13.svg","width":"300"},"fill_choice_big-843":{"type":"fill_choice_big","options":["$360$","$380$","$340$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Теорема Пифагора для нахождения апофемы:$$ h = \\sqrt{l^2-\\left(\\frac{a}{2}\\right)^2} $$Найдем апофему пирамиды:$$ h = \\sqrt{13^2-5^2} = \\sqrt{169-25} = 12 $$Вычислим периметр основания:$$ P = 6 \\cdot 10 = 60 $$Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды:$$ S = \\frac{1}{2} P h $$Найдем площадь боковой поверхности:$$ S = \\frac{1}{2} \\cdot 60 \\cdot 12 = 360 $$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $360.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны $16,$ боковые ребра равны $17.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.[[fill_choice_big-1]][[image-34]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$720$","$700$","$730$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-34":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n1-13.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем апофему пирамиды по теореме Пифагора:$$h = \\sqrt{17^2-8^2} = \\sqrt{289-64} = 15$$Вычислим периметр основания:$$P = 6 \\cdot 16 = 96$$Найдем площадь боковой поверхности:$$S = \\frac{1}{2} \\cdot 96 \\cdot 15 = 720$$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $720.$"]},{"content":"Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $3$ и $4.$ Ее объем равен $16.$ Найдите высоту этой пирамиды.[[fill_choice_big-16]][[image-83]]","widgets":{"fill_choice_big-16":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-83":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n2-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема пирамиды:$$V = \\frac{1}{3} S h$$Вычислим площадь основания:$$S = 3 \\cdot 4 = 12$$Найдем высоту пирамиды:$$h = \\frac{3V}{S} = \\frac{3 \\cdot 16}{12} = 4$$Высота пирамиды равна $4.$"]},{"content":"Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $1,$ а высота равна $\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-41]][[image-136]]","widgets":{"fill_choice_big-41":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.25$","$0.50$","$0.75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-136":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n3-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема пирамиды:$$V = \\frac{1}{3} S h$$Площадь равностороннего треугольника:$$S = \\frac{\\sqrt{3}}{4} a^2 = \\frac{\\sqrt{3}}{4}$$Вычислим объем:$$V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot \\sqrt{3} = \\frac{3}{12} = \\frac{1}{4} = 0.25$$Объем пирамиды равен $0.25.$"]},{"content":"Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами $4$ и $5.$ Ее объем равен $80.$ Найдите высоту этой пирамиды.[[fill_choice_big-85]][[image-193]]","widgets":{"fill_choice_big-85":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$13$","$16$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-193":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n4-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема пирамиды:$$V = \\frac{1}{3} S h$$Вычислим площадь основания:$$S = 4 \\cdot 5 = 20$$Найдем высоту пирамиды:$$h = \\frac{3V}{S} = \\frac{3 \\cdot 80}{20} = 12$$Высота пирамиды равна $12.$"]},{"content":"Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны $3,$ а высота равна $6\\sqrt{3}.$[[fill_choice_big-126]][[image-254]]","widgets":{"fill_choice_big-126":{"type":"fill_choice_big","options":["$13.5$","$13$","$12.5$"],"placeholder":0,"answer":0},"fill_choice_big-228":{"type":"fill_choice_big","options":["$13.5$","$13.2$","$13.7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-254":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n5-13.svg","width":"300"}},"hints":["Используемые формулы:<br /><br /> Формула площади равностороннего треугольника:<br />$$S = \\frac{\\sqrt{3}}{4}a^2$$где $a$ — длина стороны треугольника.<br /><br />Формула объема пирамиды:$$V = \\frac{1}{3}Sh$$где $S$ — площадь основания, $h$ — высота пирамиды. <br /><br />Вычислим площадь основания (равностороннего треугольника):<br />$$S = \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot 3^2 = \\frac{9\\sqrt{3}}{4}$$Найдем объем пирамиды:$$V = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{9\\sqrt{3}}{4} \\cdot 6\\sqrt{3} = \\frac{1}{3} \\cdot \\frac{162}{4} = 13.5$$Объем пирамиды равен $13.5.$"]},{"content":"Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна $4,$ а боковое ребро равно $\\sqrt{17}.$[[fill_choice_big-297]][[image-319]]","widgets":{"fill_choice_big-297":{"type":"fill_choice_big","options":["$16$","$15$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-319":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n6-13.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем апофему (высоту боковой грани) по теореме Пифагора:$$ h_1 = \\sqrt{(\\sqrt{17})^2-\\left(\\frac{4}{2}\\right)^2} = \\sqrt{17-4} = \\sqrt{13} $$Найдем высоту пирамиды по теореме Пифагора:$$ h_2 = \\sqrt{(\\sqrt{13})^2-\\left(\\frac{4}{2}\\right)^2} = \\sqrt{13-4} = 3 $$Вычислим площадь квадратного основания:$$ S = 4 \\cdot 4 = 16 $$ Формула объема пирамиды:$$ V = \\frac{1}{3} S h $$Найдем объем по формуле объема пирамиды:$$ V = \\frac{1}{3} \\cdot 16 \\cdot 3 = 16 $$Объем правильной четырехугольной пирамиды равен $16.$"]},{"content":"В основании пирамиды $SABC$ лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $10,$ а боковое ребро $SA$ перпендикулярно основанию и равно $7\\sqrt{3}.$ Найдите объем пирамиды $SABC.$[[fill_choice_big-582]][[image-388]]","widgets":{"fill_choice_big-582":{"type":"fill_choice_big","options":["$175$","$170$","$165$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-388":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n7-13.svg","width":"300"}},"hints":["<br />Площадь правильного треугольника: $ S = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} $<br />Формула объема пирамиды: $ V = \\dfrac{1}{3}Sh $<br /><br />Найдем площадь основания:$$ S_{ABC} = \\frac{10^2\\sqrt{3}}{4} = 25\\sqrt{3} $$Вычислим объем пирамиды:$$ V = \\frac{1}{3} \\cdot 25\\sqrt{3} \\cdot 7\\sqrt{3}$$ $$V = \\frac{1}{3} \\cdot 25 \\cdot 7 \\cdot 3 = 175 $$Объем пирамиды $SABC$ равен $175.$"]},{"content":"В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AB,$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если $AB = 6,$ $AC = 18$ и $AD = 8.$[[fill_choice_big-755]][[image-461]]","widgets":{"fill_choice_big-755":{"type":"fill_choice_big","options":["$144$","$154$","$140$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-461":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n8-13k.svg","width":"300"}},"hints":["Площадь прямоугольного треугольника: $ S = \\dfrac{1}{2}ab $<br />Формула объема пирамиды: $ V = \\dfrac{1}{3}Sh $<br /><br />Найдем площадь основания $($треугольник $ABC){:}$<br />$$ S_{ABC} = \\frac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 18 = 54 $$<br />Вычислим объем пирамиды:$$ V = \\frac{1}{3} \\cdot 54 \\cdot 8 = 144 $$Объем пирамиды $ABCD$ равен $144.$"]},{"content":"В треугольной пирамиде $ABCD$ ребра $AB,$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны. Найдите объем этой пирамиды, если $AB = 2,$ $AC = 15$ и $AD = 7.$[[fill_choice_big-923]][[image-538]]","widgets":{"fill_choice_big-923":{"type":"fill_choice_big","options":["$35$","$32$","$33$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-538":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n9-13k.svg","width":"300"}},"hints":["Площадь прямоугольного треугольника: $S = \\dfrac{1}{2} \\cdot AB \\cdot AC $<br />Формула объема пирамиды: $V = \\dfrac{1}{3} \\cdot S \\cdot AD $<br /><br />Площадь основания $($треугольник $ABC){:}$ $$ S = \\frac{1}{2} \\cdot 2 \\cdot 15 = 15 $$Объем пирамиды:$$ V = \\frac{1}{3} \\cdot 15 \\cdot 7 = 35 $$Объем пирамиды $ABCD$ равен $35.$"]},{"content":"Стороны основания правильной треугольной пирамиды равны $16,$ а боковые ребра равны $10.$ Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.[[fill_choice_big-1160]][[image-619]]","widgets":{"fill_choice_big-1160":{"type":"fill_choice_big","options":["$140$","$145$","$144$"],"placeholder":0,"answer":2},"image-619":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n10-13.svg","width":"300"}},"hints":["Теорема Пифагора для нахождения апофемы: <br />$h =\\sqrt{l^2-\\left(\\dfrac{a}{2}\\right)^2} $<br /><br />Формула площади боковой поверхности правильной пирамиды: $ S = \\dfrac{1}{2} P h $<br /><br />Найдем апофему пирамиды:<br />$$ h = \\sqrt{10^2-8^2} = \\sqrt{100-64} = 6 $$Вычислим периметр основания:$$ P = 3 \\cdot 16 = 48 $$Найдем площадь боковой поверхности:$$ S = \\frac{1}{2} \\cdot 48 \\cdot 6 = 144 $$Площадь боковой поверхности пирамиды равна $144.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно $2$ и $6,$ а второго — $6$ и $7.$ Во сколько раз объем второго цилиндра больше объема первого?[[image-1]][[fill_choice_big-4]]","widgets":{"image-1":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n1-13.svg","width":"300"},"fill_choice_big-4":{"type":"fill_choice_big","options":["$10.5$","$11$","$11.5$"],"placeholder":0,"answer":0}},"hints":["Формула объема цилиндра:$$ V = \\pi r^2 h $$Найдем объем первого цилиндра:$$ V_1 = \\pi \\cdot 2^2 \\cdot 6 = 24\\pi $$Найдем объем второго цилиндра:$$ V_2 = \\pi \\cdot 6^2 \\cdot 7 = 252\\pi $$Вычислим отношение объемов:$$ \\frac{V_2}{V_1} = \\frac{252\\pi}{24\\pi} = 10.5 $$Объем второго цилиндра больше объема первого в $10.5$ раз."]},{"content":"Радиус основания цилиндра равен $26,$ а его образующая равна $9.$ Сечение, параллельное оси цилиндра, удалено от нее на расстояние, равное $24.$ Найдите площадь этого сечения.[[fill_choice_big-45]][[image-56]]","widgets":{"fill_choice_big-45":{"type":"fill_choice_big","options":["$180$","$160$","$120$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-56":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n2-13.svg","width":"300"}},"hints":["Теорема Пифагора для нахождения стороны сечения:<br />$$ AB = 2\\sqrt{R^2-d^2} $$Найдем длину стороны сечения:$$ AB = 2\\sqrt{26^2-24^2}$$ $$AB = 2\\sqrt{676-576} = 2 \\cdot 10 = 20 $$Формула площади прямоугольного сечения:$$ S = AB \\cdot H $$Вычислим площадь сечения:$$ S = 20 \\cdot 9 = 180 $$Площадь сечения цилиндра равна $180.$"]},{"content":"Даны два цилиндра. Радиус основания и высота первого равны соответственно $4$ и $18,$ а второго — $2$ и $3.$ Во сколько раз площадь боковой поверхности первого цилиндра больше площади боковой поверхности второго?[[fill_choice_big-10]][[image-105]]","widgets":{"fill_choice_big-10":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$10$","$11$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-105":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n3-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади боковой поверхности цилиндра:$$ S = 2\\pi r h $$Вычислим площадь боковой поверхности первого цилиндра:$$ S_1 = 2\\pi \\cdot 4 \\cdot 18 = 144\\pi $$Вычислим площадь боковой поверхности второго цилиндра:$$ S_2 = 2\\pi \\cdot 2 \\cdot 3 = 12\\pi $$Найдем отношение площадей:$$ \\frac{S_1}{S_2} = \\frac{144\\pi}{12\\pi} = 12 $$Площадь боковой поверхности первого цилиндра больше в $12$ раз."]},{"content":"Объем конуса равен $50\\pi,$ а его высота равна $6.$ Найдите радиус основания конуса.[[fill_choice_big-111]][[image-158]]","widgets":{"fill_choice_big-111":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$7$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-158":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n4-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема конуса:$$ V = \\frac{1}{3}\\pi r^2 h $$Выразим радиус из формулы объема:$$ r=\\sqrt{\\frac{3V}{\\pi h}} $$Подставим известные значения:$$ r = \\sqrt{\\frac{3 \\cdot 50\\pi}{\\pi \\cdot 6}} = \\sqrt{25} = 5 $$Радиус основания конуса равен $5.$"]},{"content":"Объем конуса равен $32.$ Через середину высоты конуса проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем конуса, отсекаемого от данного конуса проведенной плоскостью.[[fill_choice_big-153]][[image-215]]","widgets":{"fill_choice_big-153":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$5$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-215":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n5-13.svg","width":"300"}},"hints":["Отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия:$$ \\frac{V_1}{V_2} = k^3 $$Коэффициент подобия конусов (по высоте):$$ k = \\frac{1}{2} $$Найдем объем отсекаемого конуса:$$ V_{\\text{отс}} = V \\cdot k^3 = 32 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = 4 $$Объем отсекаемого конуса равен $4.$"]},{"content":"Даны два конуса. Радиус основания и образующая первого конуса равны соответственно $2$ и $4,$ а второго — $6$ и $8.$ Во сколько раз площадь боковой поверхности второго конуса больше площади боковой поверхности первого?[[fill_choice_big-246]][[image-276]]","widgets":{"fill_choice_big-246":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$7$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-276":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n6-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади боковой поверхности конуса:$$ S = \\pi r l $$Вычислим площадь боковой поверхности первого конуса:$$ S_1 = \\pi \\cdot 2 \\cdot 4 = 8\\pi $$Вычислим площадь боковой поверхности второго конуса: $$ S_2 = \\pi \\cdot 6 \\cdot 8 = 48\\pi $$Найдем отношение площадей:$$ \\frac{S_2}{S_1} = \\frac{48\\pi}{8\\pi} = 6 $$Площадь боковой поверхности второго конуса больше в $6$ раз."]},{"content":"Даны два конуса. Радиус основания и высота первого конуса равны соответственно $9$ и $2,$ а второго — $3$ и $3.$ Во сколько раз объем первого конуса больше объема второго?<br />[[fill_choice_big-355]][[image-341]]","widgets":{"fill_choice_big-355":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$5$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-341":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n7-13.svg","width":"300"}},"hints":["Формула объема конуса:$$ V = \\frac{1}{3}\\pi R^2 H $$Вычислим объем первого конуса:$$ V_1 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 9^2 \\cdot 2 = 54\\pi $$<br />Вычислим объем второго конуса:$$ V_2 = \\frac{1}{3}\\pi \\cdot 3^2 \\cdot 3 = 9\\pi $$<br />Найдем отношение объемов:$$ \\frac{V_1}{V_2} = \\frac{54\\pi}{9\\pi} = 6 $$Объем первого конуса больше объема второго в $6$ раз."]},{"content":"Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2,$ считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем отсекаемого конуса равен $10.$[[fill_choice_big-488]][[image-410]]","widgets":{"fill_choice_big-488":{"type":"fill_choice_big","options":["$270$","$280$","$275$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-410":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n8-13.svg","width":"300"}},"hints":["Отношение объемов подобных конусов равно кубу коэффициента подобия:$$ \\frac{V_1}{V_2} = k^3 $$Определим коэффициент подобия:Высота делится в отношении $1:2,$ значит:$$ k = \\frac{1}{3} $$Найдем объем исходного конуса:$$ \\frac{V_{\\text{отс}}}{V_{\\text{исх}}} = \\left(\\frac{1}{3}\\right)^3 = \\frac{1}{27} $$$$ V_{\\text{исх}} = 10 \\cdot 27 = 270 $$Объем исходного конуса равен $270.$<br />"]},{"content":"Даны два шара с радиусами $5$ и $1.$ Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?[[fill_choice_big-620]][[image-483]]","widgets":{"fill_choice_big-620":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$5$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-483":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n9-13.svg","width":"300"}},"hints":["Площадь поверхности шара:$$ S = 4\\pi R^2 $$Вычислим отношение площадей:$$ \\frac{S_1}{S_2} = \\left(\\frac{R_1}{R_2}\\right)^2 = \\left(\\frac{5}{1}\\right)^2 = 25 $$Площадь поверхности первого шара больше в $25$ раз."]},{"content":"Даны два шара с радиусами $4$ и $1.$ Во сколько раз объем большего шара больше объема меньшего?[[fill_choice_big-737]][[image-560]]","widgets":{"fill_choice_big-737":{"type":"fill_choice_big","options":["$64$","$68$","$62$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-560":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n10-13.svg","width":"300"}},"hints":["Объем шара:$$ V = \\frac{4}{3}\\pi R^3 $$Вычислим объем большего шара:$$ V_{\\text{бол}} = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 4^3 = \\frac{256}{3}\\pi $$Вычислим объем меньшего шара:$$ V_{\\text{мен}} = \\frac{4}{3}\\pi \\cdot 1^3 = \\frac{4}{3}\\pi $$ Найдем отношение объемов:$$ \\dfrac{V_{\\text{бол}}}{V_{\\text{мен}}} = \\dfrac{\\frac{256}{3}\\pi}{\\frac{4}{3}\\pi} = 64 $$Объем большего шара больше в $64$ раза."]}]}