Задание 12. Планиметрия

{"questions":[{"content":"В треугольнике $ABC,AC = BC,AB = 8, \\tg A = \\dfrac{33}{4\\sqrt{33}}$<br />Найдите $AC$.[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$8$","$9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n1-12.svg","width":"400"}},"hints":["Поскольку треугольник равнобедренный, высота $CH$ делит основание $AB$ пополам:<br />$$AH = \\frac{AB}{2} = \\frac{8}{2} = 4$$Используем тригонометрическое тождество:<br />$$\\cos A = \\sqrt{\\frac{1}{1 + \\tg^2 A}}$$Подставляем значение $\\tg A{:}$ $$\\tg^2 A = \\left(\\frac{33}{4\\sqrt{33}}\\right)^2 = \\frac{1\\space089}{528} = \\frac{33}{16}$$Тогда:$$\\cos A = \\sqrt{\\frac{1}{1 + \\frac{33}{16}}} = \\sqrt{\\frac{16}{49}} = \\frac{4}{7}$$В прямоугольном треугольнике $AHC{:}$ $$AC = \\frac{AH}{\\cos A} = \\frac{4}{\\frac{4}{7}} = 7$$Длина стороны $AC$ равна $7$."]},{"content":"В тре­уголь­ни­ке $ABC, AC = BC = 25, AB = 40.$ <br />Най­ди­те  $\\sin A.$[[fill_choice_big-25]][[image-87]]","widgets":{"fill_choice_big-25":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.7$","$0.9$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-87":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n2-12.svg","width":"300"}},"hints":["Дано:$$AC = BC = 25,\\quad AB = 40$$Найдём высоту $CH{:}$ $$AH = \\frac{AB}{2} = 20$$ $$CH = \\sqrt{AC^2-AH^2} = \\sqrt{25^2-20^2} = 15$$Формула синуса угла в прямоугольном треугольнике:<br /><br />$$\\sin \\alpha = \\frac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$$Вычислим $\\sin A{:}$ $$\\sin A = \\frac{CH}{AC} = \\frac{15}{25} = 0.6$$Значение $\\sin A$ равно $0.6.$<br />"]},{"content":"В тре­уголь­ни­ке $ABC, AC  =  BC,$ $CH$ равна $4,$ $\\tg A$=$\\dfrac{4\\sqrt{33}}{33}.$ <br />Най­ди­те $AC.$[[fill_choice_big-104]][[image-136]]","widgets":{"fill_choice_big-104":{"type":"fill_choice_big","options":["$7$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-136":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n3-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формулы, используемые в решении:$$\\sin A = \\sqrt{1-\\cos^2 A}$$ $$\\cos A = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\tg^2 A}}$$Вычисляем $\\cos{:}$ $$\\cos A = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{4\\sqrt{33}}{33}\\right)^2}} = \\frac{1}{\\sqrt{\\frac{49}{33}}} = \\frac{\\sqrt{33}}{7}$$Находим $\\sin A{:}$ $$\\sin A = \\sqrt{1-\\left(\\frac{\\sqrt{33}}{7}\\right)^2} = \\sqrt{1-\\frac{33}{49}} =  \\frac{4}{7}$$Вычисляем $AC{:}$ $$AC = \\frac{CH}{\\sin A} = \\frac{4}{\\frac{4}{7}} = 7$$Длина стороны $AC$ равна $7$."]},{"content":"В тре­уголь­ни­ке $ABC, AC = BC = 25,$ вы­со­та $CH$ равна $20.$ <br />Най­ди­те  $\\cos A.$[[fill_choice_big-34]][[image-189]]","widgets":{"fill_choice_big-34":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.6$","$0.3$","$0.4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-189":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n4-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула косинуса в прямоугольном треугольнике:<br />$$\\cos \\alpha = \\frac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$$Найдём катет $AH$ по теореме Пифагора:$$AH = \\sqrt{AC^2-CH^2} = \\sqrt{25^2-20^2} = \\sqrt{225} = 15$$Вычислим $\\cos A{:}$ $$\\cos A = \\frac{AH}{AC} = \\frac{15}{25} = 0.6$$Значение $\\cos A$ равно $0.6$.<br />"]},{"content":"Бо­ко­вая сто­ро­на рав­но­бед­рен­но­го тре­уголь­ни­ка равна $5,$ а ос­но­ва­ние равно $6.$ Най­ди­те пло­щадь этого тре­уголь­ни­ка.[[fill_choice_big-103]][[image-246]]","widgets":{"fill_choice_big-103":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$14$","$118$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-246":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n5-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади треугольника:$$S = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{основание} \\cdot \\text{высота}$$Найдём высоту $h$ по теореме Пифагора:$$h = \\sqrt{5^2-\\left(\\frac{6}{2}\\right)^2} = \\sqrt{25-9} = 4$$Вычислим площадь:$$S = \\frac{1}{2} \\cdot 6 \\cdot 4 = 12$$Площадь треугольника равна $12$."]},{"content":"В треугольнике $ABC, AC = BC.$ Внешний угол при вершине $B$ равен $122^\\circ.$ <br />Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-145]][[image-307]]","widgets":{"fill_choice_big-145":{"type":"fill_choice_big","options":["$64$","$58$","$60$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-307":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n6-12.svg","width":"300"}},"hints":["Свойство равнобедренного треугольника:$$\\angle A = \\angle B$$Свойство внешнего угла:$$\\angle CBD = 180^\\circ-\\angle B$$Найдём угол $B{:}$ $$\\angle B = 180^\\circ-\\angle CBD = 180^\\circ-122^\\circ = 58^\\circ$$ Вычислим угол $C{:}$ $$\\angle C = 180^\\circ-2 \\cdot \\angle B = 180^\\circ-2 \\cdot 58^\\circ = 64^\\circ$$Угол $C$ равен $64^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC, AC = BC = 4,$ угол $C$ равен $30^\\circ.$ Найдите высоту $AH.$[[fill_choice_big-262]][[image-372]]","widgets":{"fill_choice_big-262":{"type":"fill_choice_big","options":["$2$","$3$","$4$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-372":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n7-12.svg","width":"200"}},"hints":["Формула высоты через сторону и синус угла:$$h = a \\cdot \\sin \\alpha$$Вычислим высоту $AH{:}$ $$AH = AC \\cdot \\sin C = 4 \\cdot \\sin 30^\\circ = 4 \\cdot \\frac{1}{2} = 2$$Высота $AH$ равна $2$."]},{"content":"Острые углы прямоугольного треугольника равны $85^\\circ$ и $5^\\circ$. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-414]][[image-458]]","widgets":{"fill_choice_big-414":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$45$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-458":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n8-12.svg","width":"300"}},"hints":["Свойства прямоугольного треугольника:<br />$$\\angle C = 90^\\circ,\\quad \\angle A = 85^\\circ,\\quad \\angle B = 5^\\circ.$$Угол между биссектрисой $CD$ и высотой $CH{:}$ $$\\angle DCH = \\angle C-\\angle ACD-\\angle BCH$$Вычислим составляющие:$$\\angle ACD = \\frac{\\angle C}{2} = 45^\\circ$$ $$\\angle BCH = 90^\\circ-\\angle B = 85^\\circ$$Искомый угол:$$\\angle DCH = 90^\\circ-45^\\circ-85^\\circ =- 40^\\circ$$Модуль угла: $40^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\\circ,$ $AC = 8,$  $\\cos A=0.8.$ Найдите $BC.$[[fill_choice_big-399]][[image-531]]","widgets":{"fill_choice_big-399":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$7$","$8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-531":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n9-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула косинуса в прямоугольном треугольнике:$$\\cos A = \\frac{AC}{AB}$$Найдём гипотенузу $AB{:}$ $$AB = \\frac{AC}{\\cos A} = \\frac{8}{0.8} = 10$$По теореме Пифагора найдём $BC{:}$ $$BC = \\sqrt{AB^2-AC^2} = \\sqrt{100-64} = 6$$Катет $BC$ равен $6$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $С$ равен $90^\\circ,$ $АВ = 4,$ $ВС = 2.$ <br />Найдите $\\sin A.$[[fill_choice_big-711]][[image-608]]","widgets":{"fill_choice_big-711":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.5$","$1$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-608":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver1n10-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула синуса в прямоугольном треугольнике:$$\\sin A = \\frac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$$Вычислим $\\sin A{:}$ $$\\sin A = \\frac{BC}{AB} = \\frac{2}{4} = 0.5$$Значение $\\sin A$ равно $0.5$."]}]}

{"questions":[{"content":"Острые углы прямоугольного треугольника равны $62^\\circ\\spaceи\\space28^\\circ.$ Найдите угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$34$","$35$","$36$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n1-12.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём углы в равнобедренном треугольнике $ACF{:}$ $$\\angle ACF = \\angle A = 28^\\circ$$Вычислим угол между высотой $CH$ и катетом $CB{:}$ $$\\angle BCH = 90^\\circ-\\angle B = 62^\\circ$$Определим искомый угол между медианой и высотой:$$\\angle HCF = 90^\\circ-\\angle ACF-\\angle BCH = 34^\\circ$$Угол между высотой и медианой равен $34^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ угол $AСB$ равен $90^\\circ,$ $\\cos  A=0.8,$ $AC=4.$ Отрезок $CH$ ― высота треугольника $ABC$. <br />Найдите длину отрезка $AH.$[[fill_choice_big-18]][[image-76]]","widgets":{"fill_choice_big-18":{"type":"fill_choice_big","options":["$3.2$","$3.4$","$3.8$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n2-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула косинуса в прямоугольном треугольнике:<br />$$\\cos \\alpha = \\frac{\\text{прилежащий катет}}{\\text{гипотенуза}}$$Вычислим длину отрезка $AH{:}$<br />$$AH = AC \\cdot \\cos A = 4 \\cdot 0.8 = 3.2$$Длина отрезка $AH$ равна $3.2$."]},{"content":"В треугольнике $АВС, АВ = ВС,$ медиана $ВМ$ равна $6.$ Площадь треугольника $АВС$ равна $12  \\sqrt 7.$ Найдите $AB.$[[fill_choice_big-47]][[image-125]]","widgets":{"fill_choice_big-47":{"type":"fill_choice_big","options":["$8$","$6$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-125":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n3-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула площади треугольника: $$S = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{основание} \\cdot \\text{высота}$$Найдём основание $AC{:}$ $$AC = \\frac{2S}{BM} = \\frac{2 \\cdot 12\\sqrt{7}}{6} = 4\\sqrt{7}$$Вычислим катет $AM{:}$ $$AM = \\frac{AC}{2} = 2\\sqrt{7}$$Найдём $AB$ по теореме Пифагора:$$AB = \\sqrt{AM^2 + BM^2} = \\sqrt{(2\\sqrt{7})^2 + 6^2} = \\sqrt{28 + 36} = 8$$Длина стороны $AB$ равна $8$."]},{"content":"Катеты прямоугольного треугольника равны $6\\spaceи\\space 8.$ Найдите наибольшую среднюю линию треугольника.<br /><br />[[fill_choice_big-92]][[image-178]]","widgets":{"fill_choice_big-92":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$3$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-178":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n4-12.svg","width":"300"}},"hints":["Свойство средней линии треугольника:$$ \\text{Средняя линия} = \\frac{1}{2} \\cdot \\text{сторона} $$Найдём гипотенузу по теореме Пифагора:$$ c = \\sqrt{6^2 + 8^2} = 10 $$Наибольшая средняя линия (параллельна гипотенузе):$$ m = \\frac{c}{2} = \\frac{10}{2} = 5 $$Наибольшая средняя линия треугольника равна $5$."]},{"content":"В треугольнике $ABC,$  $AB = BC,$ $ AC = 8,$ $\\tg \\angle BAC = \\dfrac{\\sqrt{5}}{2}.$ Найдите $AB.$[[fill_choice_big-188]][[image-235]]","widgets":{"fill_choice_big-188":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$4$","$5$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-235":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n5-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула связи тригонометрических функций:$$\\cos \\alpha = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\tg^2 \\alpha}}$$Высота $BH$ делит основание $AC$ пополам:$$AH = \\frac{AC}{2} = 4$$Вычислим $\\cos \\angle BAC{:}$ $$\\cos \\angle BAC = \\frac{1}{\\sqrt{1 + \\left(\\frac{\\sqrt{5}}{2}\\right)^2}} = \\frac{2}{3}$$Найдём длину $AB{:}$ $$AB = \\frac{AH}{\\cos \\angle BAC} = \\frac{4}{\\frac{2}{3}} = 6$$Длина стороны $AB$ равна $6$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM,$ на стороне $AB$ взята точка $K$ так, что $AK =\\dfrac{1}{3}AB$.  Площадь треугольника $AMK$ = $5.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$[[fill_choice_big-416]][[image-296]]","widgets":{"fill_choice_big-416":{"type":"fill_choice_big","options":["$30$","$32$","$36$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-296":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n6-12.svg","width":"300"}},"hints":["Свойства медианы треугольника:$$ S_{ABM} = S_{MBC} = \\frac{1}{2}S_{ABC} $$Отношение площадей треугольников с общей высотой:$$ \\frac{S_{ABM}}{S_{AMK}} = \\frac{AB}{AK} = 3 $$$$ S_{ABM} = 3 \\cdot 5 = 15 $$Находим площадь всего треугольника:$$ S_{ABC} = 2 \\cdot S_{ABM} = 30 $$Площадь треугольника $ABC$ равна $30$."]},{"content":"Прямые $m\\spaceи\\space n$ параллельны. Найдите $\\angle3,$ если $\\angle1=32^\\circ,$ $\\angle2=77^\\circ.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-365]][[image-361]]","widgets":{"fill_choice_big-365":{"type":"fill_choice_big","options":["$71$","$79$","$81$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n7-12.svg","width":"300"}},"hints":["В получившемся треугольнике угол необозначенный угол равен $32^\\circ$  — он соответственный углу $1.$ Сумма углов треугольника равна $180^\\circ.$<br /><br />Найдём $\\angle 3{:}$ $$ \\angle 3 = 180^\\circ-\\angle 1-\\angle 2$$  $$\\angle 3=180^\\circ-32^\\circ-77^\\circ = 71^\\circ $$Угол $\\angle 3$ равен $71^\\circ$."]},{"content":"В треугольнике $ABC, AB=BC=24$, а внешний угол при вершине $C$ равен $150 ^\\circ.$ Найдите длину медианы $BM.$[[fill_choice_big-127]][[image-430]]","widgets":{"fill_choice_big-127":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$10$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-430":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n8-12.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём внутренний угол $BCM$:<br />$$ \\angle BCM = 180^\\circ-150^\\circ = 30^\\circ $$В прямоугольном треугольнике $BMC{:}$ $$ BM = \\frac{BC}{2} = \\frac{24}{2} = 12 $$Длина медианы $BM$ равна $12$."]},{"content":"В треугольнике $ABC, AB=BC=25, AC =14 .$ Найдите длину медианы $BM.$[[fill_choice_big-236]][[image-503]]","widgets":{"fill_choice_big-236":{"type":"fill_choice_big","options":["$24$","$20$","$14$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-503":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n9-12.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём половину основания:$$ MC = \\frac{AC}{2} = 7 $$Вычислим длину медианы по теореме Пифагора:<br />$$ BM = \\sqrt{BC^2-MC^2} $$ $$BM = \\sqrt{25^2-7^2} = \\sqrt{576} = 24 $$Длина медианы $BM$ равна $24$."]},{"content":"В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC = 13, AC = 10.$ Найдите длину медианы $BM.$[[fill_choice_big-377]][[image-580]]","widgets":{"fill_choice_big-377":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$14$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-580":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver2n10-12.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём половину основания:$$ AM = \\frac{AC}{2} = 5 $$Вычислим длину медианы по теореме Пифагора:$$ BM = \\sqrt{AB^2-AM^2} $$ $$BM = \\sqrt{13^2-5^2} = \\sqrt{144} = 12 $$Длина медианы $BM$ равна $12$.<br />"]}]}

{"questions":[{"content":"Основания равнобедренной трапеции равны $17\\spaceи\\space87.$ Высота трапеции равна $14.$ Найдите тангенс острого угла трапеции.[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.4$","$0.3$","$0.2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n1-12.svg","width":"350"}},"hints":["Формула тангенса угла в прямоугольном треугольнике:<br />$$ \\tg \\alpha = \\frac{\\text{противолежащий катет}}{\\text{прилежащий катет}} $$Найдём длину отрезка $EB{:}$ $$ EB = \\frac{AB-DC}{2} = \\frac{87-17}{2} = 35 $$Вычислим тангенс острого угла:<br />$$ \\tg B = \\frac{CE}{EB} = \\frac{14}{35} = 0.4 $$Тангенс острого угла трапеции равен $0.4.$"]},{"content":"Основания трапеции равны $18\\spaceи\\space6.$ Боковая сторона, равная $7,$ образует с одним из оснований трапеции угол $150^\\circ.$ Найдите площадь трапеции.[[fill_choice_big-15]][[image-87]]","widgets":{"fill_choice_big-15":{"type":"fill_choice_big","options":["$42$","$40$","$39$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-87":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n2-12.svg","width":"350"}},"hints":["Формула площади трапеции:$$ S = \\frac{a + b}{2} \\cdot h $$Найдём высоту $DH{:}$ $$ \\sin 150^\\circ = \\frac{1}{2} $$ $$ DH = AD \\cdot \\sin \\angle ADC = 7 \\cdot \\frac{1}{2} = 3.5 $$Вычислим площадь:$$ S = \\frac{AB + CD}{2} \\cdot DH = \\frac{18 + 6}{2} \\cdot 3.5 = 42 $$Площадь трапеции равна $42.$"]},{"content":"В параллелограмме $ABCD, АВ = 8, АС = ВD =17.$ Найдите площадь параллелограмма.<br />[[fill_choice_big-44]][[image-148]]","widgets":{"fill_choice_big-44":{"type":"fill_choice_big","options":["$120$","$110$","$112$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-148":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/maths.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём сторону $AD$ по теореме Пифагора:$$ AD = \\sqrt{AC^2-AB^2} = \\sqrt{17^2-8^2} = 15 $$Вычислим площадь:$$ S = AB \\cdot AD = 8 \\cdot 15 = 120 $$Площадь параллелограмма равна $120.$"]},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$  — середина стороны $BC.$ Отрезки $BD\\spaceи\\space  AM$ пересекаются в точке $K.$ Найдите $BK,$ если $BD =12.$[[fill_choice_big-98]][[image-188]]","widgets":{"fill_choice_big-98":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$3$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-188":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n4-12.svg","width":"350"}},"hints":["Свойства параллелограмма:<br />Диагонали делятся точкой пересечения пополам.<br /> Медианы треугольника пересекаются в отношении $2:1.$<br />Найдём $BO$ (половина диагонали):$$ BO = \\frac{BD}{2} = 6 $$Вычислим $BK$ через свойство медиан:$$ BK = \\frac{2}{3}BO = \\frac{2}{3} \\cdot 6 = 4 $$Длина отрезка $BK$ равна $4.$"]},{"content":"В прямоугольной трапеции $ABCD$ с основаниями $BC\\spaceи\\space AD$ угол $BAD$ прямой, $AB= 4, BC=CD=5.$ Найдите среднюю линию трапеции.[[fill_choice_big-159]][[image-259]]","widgets":{"fill_choice_big-159":{"type":"fill_choice_big","options":["$6.5$","$6.2$","$6.7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-259":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n5-12.svg","width":"300"}},"hints":["Формула средней линии трапеции:$$ m = \\frac{a + b}{2} $$Найдём длину основания $AD{:}$ Проведём высоту $CH{:}$  $$ HD = \\sqrt{CD^2-AB^2} = \\sqrt{25-16} = 3 $$ Вычислим $AD{:}$  $$ AD = BC + HD = 5 + 3 = 8 $$Вычислим среднюю линию: $$ m = \\frac{BC + AD}{2} = \\frac{5 + 8}{2} = 6.5 $$Средняя линия трапеции равна $6.5.$"]},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB$ и $\\angle ACD=104^\\circ.$ Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-256]][[image-320]]","widgets":{"fill_choice_big-256":{"type":"fill_choice_big","options":["$38$","$30$","$33$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-320":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n6-12.svg","width":"400"}},"hints":["Найдём соотношение диагоналей:<br />$$ AO = OC = \\frac{AC}{2} = AB = CD $$ Рассмотрим треугольник $COD{:}$ $$ \\angle COD + 2\\angle CDO = 180^\\circ $$ $$ \\angle CDO = \\frac{180^\\circ-104^\\circ}{2} = 38^\\circ $$ Угол между диагоналями:$$ \\angle AOD = 180^\\circ-\\angle COD = 142^\\circ $$ $$ \\text{Искомый угол} = \\min(38^\\circ, 142^\\circ) = 38^\\circ $$Угол между диагоналями параллелограмма равен $38^\\circ.$"]},{"content":"В ромбе $ABCD, AB = 2, AC =  \\sqrt7 .$ <br />Найдите синус угла $BAC.$[[fill_choice_big-385]][[image-401]]","widgets":{"fill_choice_big-385":{"type":"fill_choice_big","options":["$0.75$","$0.50$","$0.70$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-401":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n7-12.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём половину диагонали $AC{:}$ $$ AO = \\frac{AC}{2} = \\frac{\\sqrt{7}}{2} $$По теореме Пифагора найдём $BO{:}$ $$ BO = \\sqrt{AB^2-AO^2} = \\sqrt{4-\\frac{7}{4}} = \\frac{3}{2} $$Вычислим синус угла $BAC{:}$ $$ \\sin \\angle BAC = \\frac{BO}{AB} = \\frac{\\frac{3}{2}}{2} = 0.75$$Синус угла $BAC$ равен $0.75.$"]},{"content":"Основания трапеции равны $8\\spaceи\\space16,$ боковая сторона, равная $6,$ образует с одним из оснований трапеции угол $150^\\circ.$ Найдите площадь трапеции.[[fill_choice_big-599]][[image-470]]","widgets":{"fill_choice_big-599":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$32$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-470":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n8-12.svg","width":"400"}},"hints":["Формула площади трапеции:$$ S = \\frac{a + b}{2} \\cdot h $$Найдём острый угол между боковой стороной и основанием:$$ 180^\\circ-150^\\circ = 30^\\circ $$Вычислим высоту $h$ через синус угла: $$ h = 6 \\cdot \\sin 30^\\circ = 6 \\cdot 0.5 = 3 $$Рассчитаем площадь трапеции: $$ S = \\frac{8 + 16}{2} \\cdot 3 = 12 \\cdot 3 = 36 $$Площадь трапеции равна $36.$"]},{"content":"В трапеции $ABCD$ известно, что$AB  =  CD, \\angle BDA  =  54^\\circ$ и $\\angle BDC  =  23°.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-668]][[image-561]]","widgets":{"fill_choice_big-668":{"type":"fill_choice_big","options":["$49$","$47$","$44$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-561":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n9-12.svg","width":"300"}},"hints":["Найдём угол $CDA$: $$ \\angle CDA = \\angle BDA + \\angle BDC = 54^\\circ + 23^\\circ = 77^\\circ $$В равнобедренной трапеции: $$ \\angle BAD = \\angle CDA = 77^\\circ $$В треугольнике $ABD$ сумма углов $180^\\circ{:}$ $$ \\angle ABD = 180^\\circ-\\angle BAD-\\angle BDA $$ $$\\angle ABD =180^\\circ-77^\\circ-54^\\circ = 49^\\circ $$Угол $ABD$ равен $49^\\circ.$"]},{"content":"Ромб и квадрат имеют одинаковые стороны. Найдите площадь ромба, если его острый угол равен $30^\\circ$, а площадь квадрата равна $64.$[[fill_choice_big-809]][[image-638]]","widgets":{"fill_choice_big-809":{"type":"fill_choice_big","options":["$32$","$30$","$35$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-638":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver3n10-12.svg","width":"400"}},"hints":["Формулы площадей:<br /><br />Площадь квадрата: $S_{\\text{кв}} = a^2.$<br />Площадь ромба: $S_{\\text{ром}} = a^2 \\cdot \\sin \\alpha.$<br /><br />Найдём сторону фигур из площади квадрата:$$ a = \\sqrt{64} = 8 $$Вычислим площадь ромба: $$ S_{\\text{ром}} = a^2 \\cdot \\sin 30^\\circ$$ $$S_{\\text{ром}} = 64 \\cdot 0.5 = 32 $$Площадь ромба равна $32.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Основания равнобедренной трапеции равны $56\\spaceи\\space104,$ боковая сторона равна $30.$ Найдите длину диагонали трапеции.[[fill_choice_big-1]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-1":{"type":"fill_choice_big","options":["$82$","$80$","$76$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n1-12.svg","width":"300"}},"hints":["Найдем разницу между двумя основаниями:$$104-56=48$$Поскольку трапеция равнобедренная, высоты, проведенные из вершин меньшего основания, отсекают равные отрезки на большем основании.<br /> Найдем длину одного такого отрезка:$$\\frac{48}{2}=24$$Рассмотрим прямоугольный треугольник $\\triangle CEB.$ <br />По теореме Пифагора найдем высоту $CE{:}$ $$CE^2+EB^2=CB^2$$ $$CE^2+24^2=30^2$$ $$CE^2=30^2-24^2=324$$ $$CE=18$$Рассмотрим треугольник $\\triangle ACE.$ Известно,что  $AE=AB+BE=56+24=80,$ а  $CE=18.$ По теореме Пифагора найдем диагональ $AC{:}$ $$AC^2=AE^2+CE^2$$ $$AC^2=80^2+18^2=6\\space400+324=6\\space724$$ $$AC=\\sqrt{6\\space724} = 82$$Длину диагонали трапеции равна $82.$"]},{"content":"Основания равнобедренной трапеции равны $11\\space и \\space21,$ боковая сторона равна $13.$ Найдите высоту трапеции.[[fill_choice_big-7]][[image-87]]","widgets":{"fill_choice_big-7":{"type":"fill_choice_big","options":["$12$","$14$","$10$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-87":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n2-12.svg","width":"300"}},"hints":["Так как $AB = DC + 2 \\cdot AH $, то$$ AH = \\frac{21-11}{2} = 5 $$Таким образом, высоту трапеции сможем найти по теореме Пифагора:$$ 13^2 = 5^2 + DH^2 $$ $$ DH = \\sqrt{169-25} = 12 $$Высота трапеции равна $12$."]},{"content":"Сумма двух углов ромба равна $120^\\circ$, а его меньшая диагональ равна $25$. Найдите периметр ромба.[[fill_choice_big-22]][[image-136]]","widgets":{"fill_choice_big-22":{"type":"fill_choice_big","options":["$100$","$90$","$120$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-136":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n3-12.svg","width":"300"}},"hints":["Сумма двух соседних углов ромба равна $180^\\circ$, следовательно, два угла, сумма которых равна $120^\\circ$, являются противоположными углами ромба. <br /><br />Каждый из этих углов равен $$120^\\circ : 2 = 60^\\circ$$ Меньшая диагональ ромба лежит напротив его меньшего угла, равного $60^\\circ$. <br /><br />Стороны ромба равны, поэтому треугольник, сторонами которого являются две стороны ромба и его меньшая диагональ, — равносторонний. <br /><br />Следовательно, сторона ромба равна его меньшей диагонали, то есть равна $25$. <br /><br />Стороны ромба равны, значит, периметр ромба равен $100$."]},{"content":"В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB = 26$, $AC = 20$. Найдите $BD$.[[fill_choice_big-46]][[image-627]]","widgets":{"fill_choice_big-46":{"type":"fill_choice_big","options":["$48$","$42$","$46$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-627":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/11/shkolniki-klass-party-parta-okno-stulya-stoly-sidyat-za-partoi-.svg","width":"300"}},"hints":["Определение типа параллелограмма:<br />Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то такой параллелограмм является ромбом.<br /><br />В ромбе все стороны равны, поэтому:$$AB=BC=CD=DA=26$$Пусть точка пересечения диагоналей $O.$ Тогда: $$AO=\\frac{AC}{2}=\\frac{20}{2}=10$$Нахождение половины диагонали $BD.$ <br />Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB,$ где: $$AO=10, AB=26$$По теореме Пифагора:$$BO = \\sqrt{AB^2-AO^2} = \\sqrt{26^2-10^2}  = 24.$$Диагональ $BD$ равна:$$BD=2\\cdot BO=2\\cdot24=48$$Сторона $BD$ равна $48.$"]},{"content":"В прямоугольной трапеции основания равны $4\\spaceи\\space7,$ а один из углов равен $135^\\circ$. Найдите меньшую боковую сторону.[[fill_choice_big-79]][[image-189]]","widgets":{"fill_choice_big-79":{"type":"fill_choice_big","options":["$3$","$5$","$2$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-189":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n5-12.svg","width":"300"}},"hints":["Анализ угла трапеции:<br /> Угол в $135^\\circ$ означает, что смежный с ним угол равен:<br />$$180^\\circ-135^\\circ = 45^\\circ$$Проведение высоты:<br /> Опустим высоту из вершины с углом $135^\\circ$ на большее основание. Образовался прямоугольный треугольник с углами:$$90^\\circ,\\ 45^\\circ,\\ 45^\\circ$$<br />Свойства полученного треугольника.<br />Так как треугольник равнобедренный, то его катеты равны. Разность оснований: $$7-4 = 3$$Нахождение меньшей боковой стороны:<br />Меньшая боковая сторона трапеции равна высоте, которая в данном случае равна катету $3.$<br />"]},{"content":"Стороны параллелограмма равны $9$ и $12$. Высота, опущенная на меньшую сторону, равна $8$. Найдите высоту, опущенную на большую сторону параллелограмма.[[fill_choice_big-121]][[image-246]]","widgets":{"fill_choice_big-121":{"type":"fill_choice_big","options":["$6$","$8$","$7$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-246":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n6-12.svg","width":"300"}},"hints":["Вычисление площади.<br />Площадь параллелограмма можно найти через меньшую сторону и её высоту:<br />$$ S = 9 \\cdot 8 = 72 $$ Нахождение искомой высоты.<br />Ту же площадь можно выразить через большую сторону:$$ 72 = 12 \\cdot x $$где $x$ — искомая высота.<br /> Решение уравнения:$$ x = \\frac{72}{12} = 6 $$ Высота, опущенная на большую сторону параллелограмма, равна $6$."]},{"content":"Сумма двух углов ромба равна $120^\\circ$, а его периметр равен $84$. Найдите длину меньшей диагонали ромба.[[fill_choice_big-172]][[image-372]]","widgets":{"fill_choice_big-172":{"type":"fill_choice_big","options":["$21$","$19$","$23$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-372":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n7-12.svg","width":"300"}},"hints":["Поскольку все стороны ромба равны, длина каждой стороны составляет:<br />$$ \\frac{84}{4} = 21 $$ Сумма двух углов ромба равна $120^\\circ$, значит каждый из этих углов:<br />$$ \\frac{120^\\circ}{2} = 60^\\circ $$Оставшиеся два угла в сумме дают: $$ 360^\\circ-120^\\circ = 240^\\circ $$<br />Следовательно, каждый из них равен: $$ \\frac{240^\\circ}{2} = 120^\\circ $$Меньшая диагональ ромба лежит напротив угла $60^\\circ$ и делит ромб на два равносторонних треугольника. Это означает, что меньшая диагональ равна длине стороны ромба.<br /><br />Длина меньшей диагонали ромба равна $21,$ так как она совпадает со стороной равностороннего треугольника, образованного диагональю и сторонами ромба."]},{"content":"В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны $16$ и $30$. Найдите периметр параллелограмма.[[fill_choice_big-232]][[image-307]]","widgets":{"fill_choice_big-232":{"type":"fill_choice_big","options":["$68$","$62$","$65$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-307":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/09/klass-parta-uchitel-uchenik.svg","width":"300"}},"hints":["Поскольку диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, данный параллелограмм является ромбом. <br />В ромбе все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.<br /><br />Половины диагоналей составляют: $$ \\frac{16}{2} = 8 \\quad \\text{и} \\quad \\frac{30}{2} = 15 $$Сторону ромба находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей:<br />$$ \\sqrt{8^2 + 15^2} = \\sqrt{64 + 225} = \\sqrt{289} = 17 $$Периметр ромба равен: $$ 17 \\cdot 4 = 68 $$Периметр параллелограмма (ромба) равен $68.$"]},{"content":"Площадь прямоугольника равна $660$, а одна из сторон равна $11$. Найдите длину диагонали этого прямоугольника.[[fill_choice_big-301]][[image-458]]","widgets":{"fill_choice_big-301":{"type":"fill_choice_big","options":["$61$","$63$","$65$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-458":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver4n9-12.svg","width":"300"}},"hints":["Площадь прямоугольника вычисляется как произведение длин его смежных сторон. Зная площадь и одну из сторон, найдём вторую сторону:<br />$$ \\text{Вторая сторона} = \\frac{660}{11} = 60 $$Длина диагонали прямоугольника находится по теореме Пифагора как гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $11$ и $60$: $$ AC = \\sqrt{11^2 + 60^2} = \\sqrt{121 + 3\\space600} = \\sqrt{3\\space721} = 61 $$Длина диагонали прямоугольника равна $61.$"]},{"content":"В параллелограмме диагонали являются биссектрисами его углов и равны $22$ и $120$. Найдите периметр параллелограмма.[[fill_choice_big-379]][[image-531]]","widgets":{"fill_choice_big-379":{"type":"fill_choice_big","options":["$244$","$240$","$239$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-531":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2023/01/tetrad-lastik-penal-uchebnik-pishet-.svg","width":"300"}},"hints":["Поскольку диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, данный четырёхугольник является ромбом. <br /><br />В ромбе все стороны равны, а диагонали пересекаются под прямым углом и делятся пополам.<br /><br />Вычислим половины диагоналей:<br />$$\\frac{22}{2} = 11 \\quad \\text{и} \\quad \\frac{120}{2} = 60$$Сторону ромба найдём по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, образованного половинами диагоналей: $$\\sqrt{11^2 + 60^2} = \\sqrt{121 + 3\\space600} = \\sqrt{3\\space721} = 61$$ Периметр ромба равен: $$61 \\cdot 4 = 244$$Периметр параллелограмма (ромба) равен $244.$"]}]}

{"questions":[{"content":"Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $\\dfrac{1}{5}$ окружности. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-21]][[image-31]]","widgets":{"fill_choice_big-21":{"type":"fill_choice_big","options":["$36$","$34$","$32$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-31":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n1-12.svg","width":"300"}},"hints":["Согласно свойству вписанного угла, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. <br /><br />Угловая мера всей окружности составляет $360^\\circ$, поэтому дуга в $\\dfrac{1}{5}$ окружности равна:<br />$$\\frac{1}{5} \\cdot 360^\\circ = 72^\\circ$$Вписанный угол, опирающийся на эту дугу, равен: $$\\frac{1}{2} \\cdot 72^\\circ = 36^\\circ$$ Искомый вписанный угол равен $36^\\circ.$"]},{"content":"Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, которая составляет $25\\%$ окружности. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-24]][[image-76]]","widgets":{"fill_choice_big-24":{"type":"fill_choice_big","options":["$45$","$40$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-76":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n2-12.svg","width":"300"}},"hints":["Согласно свойству вписанного угла, его величина равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается. <br /><br />Вычислим угловую меру дуги:<br />$$0.25 \\cdot 360^\\circ = 90^\\circ$$Найдём величину вписанного угла:<br />$$\\frac{1}{2} \\cdot 90^\\circ = 45^\\circ$$Искомый вписанный угол равен $45^\\circ.$<br />"]},{"content":"В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ – диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $110^\\circ$. Найдите вписанный угол $ACB$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-34]][[image-125]]","widgets":{"fill_choice_big-34":{"type":"fill_choice_big","options":["$35$","$30$","$20$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-125":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n3-12.svg","width":"300"}},"hints":["Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.<br />Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, они пересекаются в центре $O$. <br />Угол $AOD$ — центральный угол, опирающийся на дугу $AD$. <br />Смежный угол $AOB$ равен: $$180^\\circ-110^\\circ = 70^\\circ$$По теореме о вписанном угле:$$\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\angle AOB = \\frac{1}{2} \\cdot 70^\\circ = 35^\\circ$$Вписанный угол $ACB$ равен $35^\\circ.$"]},{"content":"Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $105^\\circ$, угол $CAD$ равен $35^\\circ$. Найдите угол $ABD$. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-53]][[image-178]]","widgets":{"fill_choice_big-53":{"type":"fill_choice_big","options":["$70$","$63$","$75$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-178":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n4-12.svg","width":"300"}},"hints":["Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.<br /><br />Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cup ADC $$ $$ \\cup ADC = 2 \\cdot 105^\\circ = 210^\\circ$$ Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\\angle CAD = \\frac{1}{2} \\cup CD $$ $$ \\cup CD = 2 \\cdot 35^\\circ = 70^\\circ$$ Находим дугу $AD{:}$ $$\\cup AD = \\cup ADC-\\cup CD = 210^\\circ-70^\\circ = 140^\\circ$$ Вычисляем угол $ABD$, опирающийся на дугу $AD{:}$<br />$$\\angle ABD = \\frac{1}{2} \\cup AD = \\frac{1}{2} \\cdot 140^\\circ = 70^\\circ$$Угол $ABD$ равен $70^\\circ.$"]},{"content":"Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $75^\\circ$, угол $CAD$ равен $35^\\circ$. Найдите угол $ABC$. Ответ дайте в градусах.<br />[[fill_choice_big-77]][[image-235]]","widgets":{"fill_choice_big-77":{"type":"fill_choice_big","options":["$110$","$135$","$125$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-235":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n5-12.svg","width":"300"}},"hints":["Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается. <br />Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\\angle ABD = \\frac{1}{2} \\cup AD $$ $$ \\cup AD = 2 \\cdot 75^\\circ = 150^\\circ$$ Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\\angle CAD = \\frac{1}{2} \\cup CD $$ $$ \\cup CD = 2 \\cdot 35^\\circ = 70^\\circ$$ Дуга $ADC$ равна сумме дуг $AD$ и $DC{:}$ $$\\cup ADC = \\cup AD + \\cup DC = 150^\\circ + 70^\\circ = 220^\\circ$$ Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cup ADC = \\frac{1}{2} \\cdot 220^\\circ = 110^\\circ$$ Угол $ABC$ равен $110^\\circ.$"]},{"content":"Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $110^\\circ,$ угол $ABD$ равен $70^\\circ.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-108]][[image-296]]","widgets":{"fill_choice_big-108":{"type":"fill_choice_big","options":["$40$","$35$","$50$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-296":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n6-12.svg","width":"300"}},"hints":["Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.<br /><br />Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC{:}$ $$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cup ADC$$ $$\\cup ADC = 2 \\cdot 110^\\circ = 220^\\circ$$ Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\\angle ABD = \\frac{1}{2} \\cup AD$$ $$\\cup AD = 2 \\cdot 70^\\circ = 140^\\circ$$Дуга $CD$ равна разности дуг $ADC$ и $AD{:}$ $$\\cup CD = \\cup ADC-\\cup AD = 220^\\circ-140^\\circ = 80^\\circ$$Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\\angle CAD = \\frac{1}{2} \\cup CD = \\frac{1}{2} \\cdot 80^\\circ = 40^\\circ$$Угол $CAD$ равен $40^\\circ$.<br />"]},{"content":"Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $104^\\circ,$ угол $CAD$ равен $66^\\circ.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-151]][[image-361]]","widgets":{"fill_choice_big-151":{"type":"fill_choice_big","options":["$38$","$20$","$24$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-361":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n7-12.svg","width":"300"}},"hints":["Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.<br /><br />Угол $ABC$ опирается на дугу $ADC$: $$\\angle ABC = \\frac{1}{2} \\cup ADC$$ $$\\cup ADC = 2 \\cdot 104^\\circ = 208^\\circ$$Угол $CAD$ опирается на дугу $CD{:}$ $$\\angle CAD = \\frac{1}{2} \\cup CD$$ $$\\cup CD = 2 \\cdot 66^\\circ = 132^\\circ$$Дуга $AD$ равна разности дуг $ADC$ и $CD{:}$ $$\\cup AD = \\cup ADC-\\cup CD = 208^\\circ-132^\\circ = 76^\\circ$$Угол $ABD$ опирается на дугу $AD{:}$ $$\\angle ABD = \\frac{1}{2} \\cup AD = \\frac{1}{2} \\cdot 76^\\circ = 38^\\circ$$Угол $ABD$ равен $38^\\circ.$"]},{"content":"На окружности радиуса $3$ взята точка $C.$ Отрезок $AB$ — диаметр окружности, $AC = 2\\sqrt{5}.$ Найдите $BC$.[[fill_choice_big-209]][[image-430]]","widgets":{"fill_choice_big-209":{"type":"fill_choice_big","options":["$4$","$8$","$6$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-430":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n8-12.svg","width":"300"}},"hints":["Так как угол, опирающийся на диаметр, прямой, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB$.<br />Длина диаметра $AB{:}$ $$AB = 2 \\cdot 3 = 6$$По теореме Пифагора находим $BC{:}$ $$BC = \\sqrt{AB^2-AC^2}$$ $$BC=\\sqrt{6^2-(2\\sqrt{5})^2} =  \\sqrt{16} = 4$$Длина отрезка $BC$ равна $4$."]},{"content":"В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $130^\\circ.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-261]][[image-503]]","widgets":{"fill_choice_big-261":{"type":"fill_choice_big","options":["$25$","$15$","$30$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-503":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2025/04/ver5n9-12.svg","width":"300"}},"hints":["Углы $AOD$ и $BOC$ равны как вертикальные:$$\\angle BOC = \\angle AOD = 130^\\circ$$Смежный угол $AOB$ равен:$$\\angle AOB = 180^\\circ-130^\\circ = 50^\\circ$$Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.<br /><br />По свойству вписанного угла: $$\\angle ACB = \\frac{1}{2} \\angle AOB = \\frac{1}{2} \\cdot 50^\\circ = 25^\\circ$$Вписанный угол $ACB$ равен $25^\\circ.$"]},{"content":"Найдите вписанный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна $\\dfrac{1}{36}$ длины окружности. Ответ дайте в градусах.[[fill_choice_big-320]][[image-580]]","widgets":{"fill_choice_big-320":{"type":"fill_choice_big","options":["$5$","$6$","$3$"],"placeholder":0,"answer":0},"image-580":{"type":"image","url":"https://obrazavr.ru/wp-content/uploads/2022/06/obrazavr-v-kruge-kvadrate-01-01.svg","width":"300"}},"hints":["Полная окружность составляет $360^\\circ$, поэтому дуга в $\\dfrac{1}{36}$ окружности равна:<br />$$360^\\circ \\cdot \\frac{1}{36} = 10^\\circ$$Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается: $$\\frac{1}{2} \\cdot 10^\\circ = 5^\\circ$$Вписанный угол равен $5^\\circ$."]}]}