ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Длина окружности и площадь круга
В прошлом уроке вы впервые познакомились с понятием окружности и круга. Для некоторых расчетов (например, сколько материала нужно для изготовления круглого стола, какая длина бордюра вокруг круглой клумбы, какая площадь у пиццы и прочее) необходимо уметь вычислять длину окружности и площадь круга. В этом уроке разберем и выучим эти формулы.
Длина окружности
Длина окружности — это длина линии, которая образует окружность.
Если бы мы могли разрезать окружность и растянуть её в прямую линию, длина этой линии и была бы длиной окружности.
Математики древности обнаружили, что длина любой окружности больше своего диаметра в одно и то же число раз. Это число — число $\pi.$
Число $\pi$ бесконечно длинное и равно $3,1415926535…$
После запятой у этого числа бесконечно много цифр. На сегодняшний день с помощью компьютеров оно вычислено до $300$-триллионного знака.
При расчетах в математике число чаще всего округляют до $3,14,$ но в условиях задачи может быть предложен свой вариант.
Итак, раз длина окружности в $\pi$ раз больше диаметра, значит, мы получаем формулу длины окружности: $$С=\pi d$$ Также зная, что диаметр равен двум радиусам, можно выразить формулу через радиус: $$С=2\pi r$$
Формула через диаметр читается: “Длина окружности равна пи дэ”, а через радиус: “Длина окружности равна два пи эр”.
Площадь круга
Площадь круга — это все пространство внутри окружности.
Например, площадь поверхности круглого стола или площадь монетки. Площадь круга также вычисляется с помощью числа по формуле:
$$S=\pi R^2$$ где $R$ — радиус.
Формула читается так: «Площадь круга равна пи эр квадрат».
Практика
Применим изученные формулы при решении задач.
Задача 1
Найдите длину окружности, если ее радиус равен $7\space см.$ Число $\pi$ принять равным $3.14.$
Показать решение и ответ
Скрыть
Формула длины окружности через радиус — $C=2\pi r,$ применим ее:
$$C=2\cdot 3.14 \cdot 7=43.96\space см$$
Ответ: $43.96 \space см.$
Задача 2
Найдите площадь круга с радиусом $10 \space см.$ Число $\pi$ принять равным $3.14.$
Показать решение и ответ
Скрыть
Формула площади круга — $S=\pi R^2.$ Подставим в нее наши значения и посчитаем:
$$S=3.14 \cdot 10^2=3.14 \cdot 100=314\space см^2$$
Ответ: $314\space см^2.$
Задача 3
Диаметр окружности равен $6 \space см.$ Найдите длину окружности и площадь круга. Число $\pi$ принять равным $3.14.$
Показать решение и ответ
Скрыть
Формула длины окружности через диаметр — $C=\pi d,$ применим ее:
$$C=3.14 \cdot 6=18.84 \space см$$
Теперь найдем площадь. Формула площади круга — $S=\pi R^2.$ У нас дан диаметр, значит, сначала нужно найти радиус, который в $2$ раза меньше диаметра:
$$R=6:2=3\space см$$ Подставим в формулу площади наши значения и посчитаем:
$$S=3.14 \cdot 3^2=3.14 \cdot 9=28.26\space см^2$$
Ответ: $C=18.84 \space см,$ $S=28.26\space см^2.$
Задача 4
Колесо сделало $100$ оборотов, пройдя расстояние $157\space м.$ Найдите радиус колеса. Число $\pi$ принять равным $3.14.$
Показать решение и ответ
Скрыть
Сначала найдем длину одного оборота:
$$157:100=1.57 \space м = 157\ см$$
Значит, длина окружности колеса — $157\ см,$ подставим это в формулу и решим как уравнение:
$$С=2 \cdot 3.14 \cdot R=157\ см$$ $$2 \cdot 3.14 \cdot R=157$$ $$6.28 \cdot R=157$$ $$R=157:6.28$$ $$R=25$$
Ответ: $25\ см.$
Часто задаваемые вопросы
Это математическая постоянная, которая показывает отношение длины окружности к ее диаметру. Чаще всего ее берут равной $3.14.$
— Длина окружности через радиус: “два пи эр”.
— Площадь круга: “пи эр квадрат”.
— Длина окружности — в единицах длины $(см,\ м,\ км$ и т. д.$)$
— Площадь круга — в квадратных единицах $(см^2,\ м^2,\ км^2$ и т. д.$)$
5
5
1
5
Получите полный доступ ко всем материалам и занимайтесь в удобном темпе — без ограничений.
- Более 700 000 учеников и 50 000 учителей по всей России.
- Повышение среднего балла по предмету до 20 % после месяца занятий.
- Всплеск интереса к учебе и более глубокое понимание предметов.
Создайте бесплатный аккаунт — и откройте больше возможностей:
- Отслеживайте прогресс освоения тем
- Получайте персональные подборки полезных уроков и заданий
- Проводите работу над ошибками после занятий
Хотите оставить комментарий?
Войти