Скалярное произведение векторов: повторение и обобщение

{"questions":[{"content":"Даны ненулевые векторы $\\vec a$ и $\\vec b$, причем $|\\vec a|=4$, $|\\vec b|=5$, $\\cos \\varphi=\\dfrac{1}{2}$. Чему равно скалярное произведение $\\vec a \\cdot \\vec b$?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["$20$","$10$","$9$","$0$"],"answer":[1]}},"hints":["Воспользуйтесь формулой $\\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a|\\cdot|\\vec b|\\cdot\\cos\\varphi$.","Подставим данные в формулу:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 4\\cdot 5\\cdot \\dfrac{1}{2} = 20\\cdot \\dfrac{1}{2} = 10$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(3;4)$ и $\\vec b=(4;3)$. Известно, что $\\cos \\varphi=\\dfrac{24}{25}$. Чему равно скалярное произведение $\\vec a \\cdot \\vec b$?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["$21$","$24$","$25$","$48$"],"answer":[1]}},"hints":["Сначала найдите модули векторов, затем используйте формулу $\\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a|\\cdot|\\vec b|\\cdot\\cos\\varphi$.","Найдем модули:<br />$|\\vec a| = \\sqrt{3^2+4^2} = \\sqrt{9+16} = 5$,<br />$|\\vec b| = \\sqrt{4^2+3^2} = \\sqrt{16+9} = 5$.<br />Теперь вычислим скалярное произведение:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 5\\cdot 5\\cdot \\dfrac{24}{25} = 25\\cdot \\dfrac{24}{25} = 24$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(0;5)$ и $\\vec b=(12;5)$. Известно, что $\\cos \\varphi=\\dfrac{5}{13}$. Чему равно скалярное произведение $\\vec a \\cdot \\vec b$?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["$17$","$25$","$30$","$60$"],"answer":[1]}},"hints":["Сначала найдите модули векторов, затем подставьте их в формулу скалярного произведения через косинус угла.","Найдем модули:<br />$|\\vec a| = \\sqrt{0^2+5^2} = 5$,<br />$|\\vec b| = \\sqrt{12^2+5^2} = \\sqrt{144+25} = 13$.<br />Теперь вычислим:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 5\\cdot 13\\cdot \\dfrac{5}{13} = 25$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(2;3)$ и $\\vec b=(4;-1)$. Чему равно скалярное произведение $\\vec a \\cdot \\vec b$?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["$5$","$8$","$11$","$-5$"],"answer":[0]}},"hints":["Используйте формулу $\\vec a \\cdot \\vec b = x_1x_2 + y_1y_2$.","Подставим координаты в формулу:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 2\\cdot 4 + 3\\cdot (-1) = 8 -3 = 5$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(-1;5)$ и $\\vec b=(3;2)$. Чему равно скалярное произведение $\\vec a \\cdot \\vec b$?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["$7$","$13$","$-7$","$8$"],"answer":[0]}},"hints":["Перемножьте соответствующие координаты и сложите результаты.","Вычислим:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = (-1)\\cdot 3 + 5\\cdot 2 = -3 + 10 = 7$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(6;-2)$ и $\\vec b=(1;3)$. Чему равно скалярное произведение $\\vec a \\cdot \\vec b$?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["$0$","$4$","$-4$","$18$"],"answer":[0]}},"hints":["Используйте формулу скалярного произведения через координаты.","Подставим координаты:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 6\\cdot 1 + (-2)\\cdot 3 = 6 -6 = 0$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(3;4)$ и $\\vec b=(5;0)$. Чему равен $\\cos \\varphi$ угла между ними?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{3}{5}$","$\\dfrac{4}{5}$","$\\dfrac{1}{5}$","$0$"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала найдите скалярное произведение и модули векторов, затем используйте формулу $\\cos \\varphi = \\dfrac{\\vec a \\cdot \\vec b}{|\\vec a|\\cdot|\\vec b|}$.","Найдем скалярное произведение:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 3\\cdot 5 + 4\\cdot 0 = 15$.<br />Найдем модули:<br />$|\\vec a| = \\sqrt{3^2+4^2} = 5$,<br />$|\\vec b| = \\sqrt{5^2+0^2} = 5$.<br />Тогда<br />$\\cos \\varphi = \\dfrac{15}{5\\cdot 5} = \\dfrac{15}{25} = \\dfrac{3}{5}$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(1;0)$ и $\\vec b=(1;1)$. Чему равен $\\cos \\varphi$ угла между ними?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["$\\dfrac{1}{2}$","$\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$","$\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}$","$1$"],"answer":[1]}},"hints":["Найдите скалярное произведение, затем модули векторов и подставьте в формулу для косинуса.","Сначала вычислим скалярное произведение:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 1\\cdot 1 + 0\\cdot 1 = 1$.<br />Найдем модули:<br />$|\\vec a| = \\sqrt{1^2+0^2} = 1$,<br />$|\\vec b| = \\sqrt{1^2+1^2} = \\sqrt{2}$.<br />Тогда<br />$\\cos \\varphi = \\dfrac{1}{1\\cdot \\sqrt{2}} = \\dfrac{1}{\\sqrt{2}} = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}$."]},{"content":"Даны векторы $\\vec a=(1;2)$ и $\\vec b=(-2;-1)$. Чему равен $\\cos \\varphi$ угла между ними?[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["$-\\dfrac{4}{5}$","$-\\dfrac{3}{5}$","$0$","$\\dfrac{4}{5}$"],"answer":[0]}},"hints":["Сначала найдите скалярное произведение, затем модули векторов и используйте формулу для косинуса.","Найдем скалярное произведение:<br />$\\vec a \\cdot \\vec b = 1\\cdot (-2) + 2\\cdot (-1) = -2 -2 = -4$.<br />Найдем модули:<br />$|\\vec a| = \\sqrt{1^2+2^2} = \\sqrt{5}$,<br />$|\\vec b| = \\sqrt{(-2)^2+(-1)^2} = \\sqrt{5}$.<br />Тогда<br />$\\cos \\varphi = \\dfrac{-4}{\\sqrt{5}\\cdot \\sqrt{5}} = \\dfrac{-4}{5}$."]}],"mix":1}