Карточки
Тесты
Зави
Что изучает геометрия. Аксиомы, теоремы, доказательства
Что изучает геометрия. Аксиомы, теоремы, доказательства
В 5 классе вы рисовали точки, прямые, отрезки и лучи (уроки «Плоскость. Прямая. Луч» и «Отрезок, длина отрезка, треугольник»). С этого урока геометрия становится отдельным предметом. Разберем, что она изучает, чем аксиома отличается от теоремы и почему в геометрии не верят на слово ни глазам, ни примерам.
Задача для начала. Отметьте на окружности две точки и соедините их отрезком — круг разделится на 2 части. Три точки, соединенные каждая с каждой, дают 4 части, четыре точки — 8 частей, пять точек — 16. На сколько частей разделят круг шесть точек? Запишите свой ответ — проверим его в последнем разделе.
Можно ли верить глазам
Первый инструмент, которым мы смотрим на фигуры, — глаз. Проверим, насколько ему можно доверять. Ответьте в интерактиве ниже раньше, чем прочитаете разбор: какой из трех отрезков самый длинный?
Большинству людей кажется, что длиннее всех средний отрезок с «усиками», разведенными наружу, а короче всех — верхний, у которого «усики» направлены внутрь. Проверим без линейки. Приложите к экрану край листа бумаги, отметьте на нем карандашом концы верхнего отрезка на рисунке ниже, а потом приложите эту полоску к среднему и нижнему отрезкам. Отметки совпадут с концами каждого отрезка: все три равны. Глаз сравнил фигуры вместе с «усиками», а сравнивать надо только расстояние между концами.
Полоска бумаги работает как калька: копию одного отрезка кладут на другой и смотрят, совпали ли концы. Такой способ называют наложением.
Важно
Глаз подсказывает догадку, но может ошибаться. Равенство отрезков проверяют наложением или измерением, а не на глаз.
Но и калька проверяет только тот рисунок, который лежит перед вами, а утверждения геометрии говорят сразу обо всех отрезках и прямых. Поэтому у уверенности в геометрии три ступени: глаз — калька и линейка — доказательство.
О чем спрашивает геометрия: форма, размер, расположение
Посмотрите на разметку футбольного поля. Отметка в центре поля — это точка. Боковые линии, линии ворот и средняя линия — отрезки. Центральный круг ограничен окружностью радиусом 9,15 м. Штрафная площадь — прямоугольник.
О такой разметке можно задать три вида вопросов. Какой формы штрафная площадь? Это вопрос о форме. Каков радиус центрального круга? Это вопрос о размере. Через какую точку проходит средняя линия? Это вопрос о взаимном расположении: средняя линия проходит через центр круга.
Определение
Геометрия — наука о форме, размерах и взаимном расположении фигур.
Разметка целиком лежит на плоскости поля. Фигуры на плоскости изучает планиметрия — ей посвящен курс геометрии 7–9 классов. Мяч уже не плоская фигура, а шар — тело в пространстве. Фигуры в пространстве изучает стереометрия, она будет в старших классах.
Интересный факт: откуда слово «геометрия»
Скрыть
Слово «геометрия» греческое: «гео» — земля, «метрео» — измеряю. Получается «землемерие». Древнегреческий историк Геродот («История», книга II) пересказывает рассказ египтян: царь разделил землю на равные участки и брал с них налог. Если разлив Нила смывал часть участка, посылали людей измерить, насколько он уменьшился, и налог снижали. По мнению Геродота, так и возникло землемерие, которое потом перешло к грекам.
С чего начинается цепочка: понятия без определений и аксиомы
Попробуйте объяснить, что такое точка. «Очень маленькое пятнышко»? Тогда придется объяснять, что такое пятнышко. Каждое объяснение опирается на другие слова, а цепочка не может быть бесконечной. Поэтому несколько самых простых понятий в геометрии не определяют. Их называют основными понятиями: это точка, прямая и плоскость.
Остальные понятия вводят через уже известные. Такое объяснение называют определением. Например: отрезок — часть прямой, состоящая из двух ее точек и всех точек, лежащих между ними.
Теперь опыт. Возьмите лист бумаги и отметьте на нем две точки $A$ и $B$. Перегните лист так, чтобы линия сгиба прошла через обе точки, и разогните. Попробуйте сложить лист по-другому, чтобы новый сгиб тоже прошел через $A$ и $B$. Ничего не выйдет: любой другой сгиб через точку $A$ пройдет мимо точки $B$. Линия сгиба — это часть прямой, и опыт подсказывает: через две точки проходит только одна прямая.
Определение
Аксиома — утверждение, которое принимается без доказательства.
Аксиома
Основное свойство прямой: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.
Опыт со сгибом делает аксиому правдоподобной, но не доказывает ее: мы перегнули один лист, а аксиома говорит о любых двух точках. Аксиомы и не доказывают — их принимают как отправную точку. Так поступил древнегреческий ученый Евклид в книге «Начала» (около 300 г. до н. э.): сначала он перечислил утверждения, принятые без доказательства, а все остальное вывел из них. Среди этих утверждений есть и наша калька: фигуры, которые совмещаются друг с другом, равны.
| Звено цепочки | Что это | Пример |
|---|---|---|
| Основные понятия | Не определяют | Точка, прямая, плоскость |
| Аксиомы | Принимают без доказательства | Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна |
| Определения | Объясняют новое понятие через известные | Отрезок — часть прямой, состоящая из двух ее точек и всех точек между ними |
| Теоремы | Доказывают, опираясь на аксиомы и уже доказанные теоремы | Две различные прямые имеют не более одной общей точки (раздел 4) |
Пример 1
Отмечены четыре точки $A$, $B$, $C$, $D$, никакие три из них не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых можно провести через пары этих точек?
Решение. Пар точек шесть: $AB$, $AC$, $AD$, $BC$, $BD$, $CD$. По основному свойству прямой через каждую пару проходит ровно одна прямая. Могут ли две из этих прямых совпасть? Если бы, например, прямые $AB$ и $AC$ совпали, точки $A$, $B$, $C$ лежали бы на одной прямой, а по условию так не бывает. Значит, все шесть прямых различны.
Ответ: 6 прямых.
Третья ступень: теорема и ее доказательство
Нарисуйте две различные прямые. Сколько у них общих точек? На ваших рисунках — одна или ни одной. А может ли их быть две? На всех рисунках, которые вы нарисуете, — нет. Но рисунков бесконечно много, а калька проверяет только один. Нужно рассуждение, которое годится сразу для всех прямых.
Определение
Теорема — утверждение, справедливость которого устанавливается рассуждением — доказательством.
Теорему часто записывают в форме «если …, то …». То, что стоит после слова «если», — условие (что дано). То, что стоит после слова «то», — заключение (что нужно доказать).
Теорема
Две различные прямые имеют не более одной общей точки.
В форме «если …, то …»: если две прямые различны, то у них не более одной общей точки. Условие — «прямые различны», заключение — «общих точек не больше одной».
Доказательство
Шаг 1. Предположим противное: различные прямые $a$ и $b$ имеют две общие точки $A$ и $B$.
Шаг 2. Тогда через точки $A$ и $B$ проходят две различные прямые — $a$ и $b$.
Шаг 3. Это противоречит основному свойству прямой: через две точки проходит только одна прямая. Значит, предположение неверно, и у различных прямых не более одной общей точки. Что и требовалось доказать.
Такой способ называют доказательством от противного: предполагают, что заключение теоремы неверно, и рассуждают, пока не придут к противоречию — с аксиомой, с уже доказанной теоремой или с условием. Значит, неверно предположение, и верно заключение.
Обратите внимание: ни один шаг не опирается на рисунок. Шаг 1 — предположение, шаг 2 следует из него, шаг 3 опирается на аксиому. Поэтому доказательство верно для любых двух прямых, а рисунок только помогает следить за рассуждением.
Почему сто примеров не доказывают, а один опровергает
Вернемся к задаче из начала урока. При 2, 3, 4, 5 точках получилось 2, 4, 8, 16 частей — каждый раз вдвое больше. Многие отвечают, что шесть точек дадут 32 части. Нарисуем шесть точек так, чтобы никакие три отрезка не проходили через одну точку, и пересчитаем части.
Ошибка
Решавр рассуждает: «2, 4, 8, 16 — каждый раз вдвое больше. Значит, при 6 точках будет 32 части».
Проверка. На рисунке шесть точек дают 31 часть. Удвоение, которое держалось четыре раза подряд, на пятом шаге нарушилось.
Где сломалось рассуждение. Правило «вдвое больше» угадано по нескольким примерам, а не выведено. Рисунок тоже может подвести: у правильного шестиугольника частей 30.
Определение
Контрпример — пример, который опровергает утверждение. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно одного контрпримера. Чтобы доказать, нужно рассуждение: никакое число примеров его не заменит.
Вторая частая ошибка связана с условием и заключением теоремы. Что будет, если поменять их местами?
Определение
Обратное утверждение — утверждение, в котором условие и заключение данного утверждения поменяли местами.
Например, для верного утверждения «если число оканчивается цифрой 2, то оно четное» обратное — «если число четное, то оно оканчивается цифрой 2». Оно неверно: число 14 четное, но оканчивается цифрой 4.
Ошибка
Вспомните утверждение из задания к разделу 4: «если четырехугольник — квадрат, то все его стороны равны». Оно верно. Решавр знает его и делает вывод: «значит, если все стороны четырехугольника равны, то это квадрат».
Проверка. Возьмем ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$. Все его стороны равны, а углы не прямые — это не квадрат. Один контрпример, и утверждение Решавра опровергнуто.
Где сломалось рассуждение. Решавр поменял условие и заключение местами и получил новое утверждение. Верность прямого утверждения на него не переходит: обратное надо проверять заново.
Пример 2
Утверждение «если число делится на 10, то оно оканчивается нулем» верно. Верно ли обратное утверждение?
Решение. Обратное утверждение: «если число оканчивается нулем, то оно делится на 10». Число, которое оканчивается нулем, состоит из целого числа десятков: например, $370 = 37 \cdot 10$. Значит, оно делится на 10, и это верно для любого такого числа.
Ответ: обратное утверждение верно. Но это понадобилось доказать.
Вывод
Геометрия изучает форму, размеры и взаимное расположение фигур. Она строится цепочкой: основные понятия не определяют, аксиомы принимают без доказательства, новые понятия вводят определениями, а теоремы доказывают. Вспомнить главное помогут три ступени уверенности: глаз — калька и линейка — доказательство. Неверное утверждение опровергает один контрпример.
Геометрия нужна там, где важны форма и размеры: разметить поле, начертить план комнаты, рассчитать, сколько плитки нужно на пол. А доказательство учит отличать «кажется» от «точно знаю» — это пригодится не только в геометрии. В следующем уроке «Точка, прямая, отрезок, луч» основное свойство прямой поможет разобраться, чем отрезок отличается от луча.
| Ступень | Что дает | Где подводит |
|---|---|---|
| Глаз | Догадку: «кажется, отрезки разные» | Ошибается на иллюзиях: равные отрезки кажутся разными |
| Калька и линейка | Проверку одного рисунка: наложили — совпало | Проверяет только тот рисунок, который перед вами; много проверенных случаев — тоже не все случаи (2, 4, 8, 16 → 31) |
| Доказательство | Уверенность для всех случаев: каждый шаг опирается на аксиому или теорему | Доказывают именно данное утверждение; обратное надо проверять отдельно |
Часто задаваемые вопросы
Рисунок показывает один случай, а теорема говорит обо всех. К тому же рисунок может обмануть, как отрезки с «усиками» или шесть точек на окружности.
Любое доказательство опирается на что-то уже известное. Если доказывать и это, цепочка никогда не закончится. Поэтому несколько простых утверждений принимают без доказательства — это аксиомы. Их выбирают так, чтобы они согласовались с опытом, как основное свойство прямой со сгибом листа.
Обратное утверждение — новое, поэтому его проверяют как любое утверждение: либо доказывают, либо ищут контрпример. Для «если все стороны равны, то это квадрат» контрпример — ромб.
В 7 классе наложение — наглядная проверка: фигуры, совпавшие при наложении, считают равными. Строго наложение определяют в 9 классе, в уроке «Отображение плоскости на себя. Понятие движения и наложения». А как сравнивать отрезки наложением и измерением, разобрано в уроке «Длина отрезка. Равные отрезки. Середина отрезка. Расстояние между точками».
5
5
1
5