Что изучает геометрия. Аксиомы, теоремы, доказательства

10 вопросов, при повторном прохождении вопросы меняются.

<div class="test"><pre><textarea>{"questions":[{"id":"1","content":"Какой из вопросов относится к стереометрии?[[choice-1]]","widgets":{"choice-1":{"type":"choice","options":["Какой длины линия, ограничивающая штрафную площадь","Сколько кожи нужно, чтобы сшить футбольный мяч","Где центр окружности, нарисованной в тетради","Какой периметр у прямоугольного участка на плане"],"explanations":["Линия разметки лежит на плоскости поля — это планиметрия","","Окружность в тетради лежит в одной плоскости — это планиметрия","План участка — плоский чертеж, его изучает планиметрия"],"answer":[1]}},"hints":["Планиметрия изучает фигуры на плоскости, стереометрия — фигуры в пространстве (тела).","Разметка поля, чертеж в тетради и план участка плоские. Мяч — шар, это тело.","Ответ: вопрос о мяче."],"step":1},{"id":"1","content":"Какой из вопросов относится к планиметрии?[[choice-2]]","widgets":{"choice-2":{"type":"choice","options":["Какой длины линия, отделяющая одну беговую дорожку от другой","Сколько граней у игрального кубика","Сколько кубиков поместится в коробку для игрушек","Сколько краски нужно, чтобы покрасить банку со всех сторон"],"explanations":["","Кубик — тело в пространстве, это стереометрия","Коробка и кубики — тела в пространстве, это стереометрия","Банка — тело, ее поверхность изучает стереометрия"],"answer":[0]}},"hints":["Планиметрия изучает фигуры на плоскости, стереометрия — фигуры в пространстве (тела).","Коробка, банка и кубик — тела. Разметка беговой дорожки на поле плоская.","Ответ: вопрос о разметке дорожки."],"step":1},{"id":"2","content":"Чем является утверждение «Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна»?[[choice-3]]","widgets":{"choice-3":{"type":"choice","options":["Определением прямой","Основным понятием","Аксиомой","Теоремой"],"explanations":["Прямая — основное понятие, ее не определяют; утверждение говорит о свойстве прямой","Основные понятия — это слова (точка, прямая), а не утверждения","","Теорему доказывают; это свойство принимают без доказательства"],"answer":[2]}},"hints":["Аксиому принимают без доказательства, теорему доказывают, определение объясняет новое слово.","Это основное свойство прямой: его не доказывают, а принимают.","Ответ: аксиома."],"step":1},{"id":"2","content":"Чем является утверждение «Две различные прямые имеют не более одной общей точки»?[[choice-4]]","widgets":{"choice-4":{"type":"choice","options":["Теоремой","Аксиомой","Основным понятием","Определением пересекающихся прямых"],"explanations":["","Аксиому не доказывают, а это утверждение доказано через основное свойство прямой","Основные понятия — это слова (точка, прямая), а не утверждения","Оно не вводит новое слово, а утверждает свойство всех различных прямых"],"answer":[0]}},"hints":["Аксиому принимают без доказательства, теорему доказывают, определение объясняет новое слово.","Это утверждение доказывают с опорой на основное свойство прямой.","Ответ: теорема."],"step":1},{"id":"3","content":"Точки $A$, $B$ и $C$ не лежат на одной прямой. Сколько различных прямых проходит через какие-нибудь две из этих точек? [[input-1]]","widgets":{"input-1":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Пары точек: $A$ и $B$, $B$ и $C$, $A$ и $C$. Через каждую пару проходит одна прямая.","Прямые $AB$, $BC$ и $AC$ различны: если бы две из них совпали, все три точки лежали бы на одной прямой.","Ответ: 3."],"step":1},{"id":"3","content":"Точки $M$, $N$ и $K$ лежат на одной прямой, точка $P$ на ней не лежит. Сколько различных прямых проходит через точку $P$ и какую-нибудь из точек $M$, $N$, $K$? [[input-2]]","widgets":{"input-2":{"type":"input","answer":"3"}},"hints":["Прямые $PM$, $PN$ и $PK$ проходят через $P$.","Если бы две из них совпали, например $PM$ и $PN$, то $P$ лежала бы на прямой $MN$. Это не так, значит, прямые различны.","Ответ: 3."],"step":1},{"id":"4","content":"Утверждение: «Если число делится на 9, то сумма его цифр делится на 9». Условие: [[fill_choice-1]]. Заключение: [[fill_choice-2]].","widgets":{"fill_choice-1":{"type":"fill_choice","options":["сумма цифр числа делится на 9","число делится на 9","число делится на 3"],"answer":1},"fill_choice-2":{"type":"fill_choice","options":["число делится на 9","число делится на 3","сумма его цифр делится на 9"],"answer":2}},"hints":["Условие стоит после слова «если», заключение — после слова «то».","После «если»: «число делится на 9». После «то»: «сумма его цифр делится на 9».","Ответ: условие — число делится на 9; заключение — сумма его цифр делится на 9."],"step":1},{"id":"4","content":"Утверждение: «Если две различные прямые пересекаются, то у них ровно одна общая точка». Условие: [[fill_choice-3]]. Заключение: [[fill_choice-4]].","widgets":{"fill_choice-3":{"type":"fill_choice","options":["две различные прямые пересекаются","у прямых одна общая точка","прямые совпадают"],"answer":0},"fill_choice-4":{"type":"fill_choice","options":["прямые различны","прямые пересекаются","у них ровно одна общая точка"],"answer":2}},"hints":["Условие стоит после слова «если», заключение — после слова «то».","После «если»: «две различные прямые пересекаются». После «то»: «у них ровно одна общая точка».","Ответ: условие — различные прямые пересекаются; заключение — общая точка одна."],"step":1},{"id":"5","content":"Какое утверждение обратно утверждению «Если четырехугольник — прямоугольник, то все его углы прямые»?[[choice-5]]","widgets":{"choice-5":{"type":"choice","options":["Если все углы четырехугольника прямые, то он прямоугольник","Если четырехугольник — прямоугольник, то у него четыре угла","Если не все углы четырехугольника прямые, то он не прямоугольник","Если четырехугольник не прямоугольник, то не все его углы прямые"],"explanations":["","Здесь заменено заключение, а условие осталось прежним","Это не обратное утверждение: части поменяли местами и вдобавок поставили «не»","Здесь добавлены отрицания, а условие и заключение остались на своих местах"],"answer":[0]}},"hints":["В обратном утверждении условие и заключение меняются местами.","Условие: «четырехугольник — прямоугольник». Заключение: «все его углы прямые».","Ответ: «Если все углы четырехугольника прямые, то он прямоугольник»."],"step":1},{"id":"5","content":"Какое утверждение обратно утверждению «Если число делится на 4, то оно четное»?[[choice-6]]","widgets":{"choice-6":{"type":"choice","options":["Если число нечетное, то оно не делится на 4","Если число делится на 4, то оно делится на 2","Если число четное, то оно делится на 4","Если число не делится на 4, то оно нечетное"],"explanations":["Это не обратное утверждение: части поменяли местами и вдобавок поставили «не»","Здесь другими словами повторено то же утверждение","","Здесь добавлены отрицания, а условие и заключение остались на своих местах"],"answer":[2]}},"hints":["В обратном утверждении условие и заключение меняются местами.","Условие: «число делится на 4». Заключение: «число четное».","Ответ: «Если число четное, то оно делится на 4»."],"step":1},{"id":"6","content":"Утверждение «Если число оканчивается цифрой 5, то оно делится на 5» верно. Верно ли обратное утверждение?[[choice-7]]","widgets":{"choice-7":{"type":"choice","options":["Верно: проверено на числах 5, 15, 25 и 35","Верно: раз верно прямое утверждение, верно и обратное","Неверно: число 15 оканчивается на 5, но не делится на 5","Неверно: число 10 делится на 5, но оканчивается нулем"],"explanations":["Примеры не доказывают утверждение; контрпример — число 10","Обратное утверждение — новое, его проверяют отдельно; число 10 его опровергает","15 делится на 5; к тому же это проверка прямого утверждения, а не обратного",""],"answer":[3]}},"hints":["Сформулируйте обратное: «Если число делится на 5, то оно оканчивается цифрой 5».","Ищем число, которое делится на 5, но оканчивается не на 5: например, 10.","Ответ: неверно, контрпример — число 10."],"step":1},{"id":"6","content":"Утверждение «Если два угла прямые, то они равны» верно. Верно ли обратное утверждение?[[choice-8]]","widgets":{"choice-8":{"type":"choice","options":["Верно: раз верно прямое утверждение, верно и обратное","Неверно: два угла по $40^\\circ$ равны, но они не прямые","Неверно: два прямых угла бывают не равны друг другу","Верно: проверено на углах по $90^\\circ$ в квадрате"],"explanations":["Обратное утверждение — новое, его проверяют отдельно; углы по $40^\\circ$ его опровергают","","Любые два прямых угла равны; к тому же это о прямом утверждении, а не об обратном","Пример не доказывает утверждение; контрпример — углы по $40^\\circ$"],"answer":[1]}},"hints":["Сформулируйте обратное: «Если два угла равны, то они прямые».","Ищем два равных угла, которые не прямые: например, два угла по $40^\\circ$.","Ответ: неверно, контрпример — два угла по $40^\\circ$."],"step":1},{"id":"7","content":"Решавр: «Одна прямая делит плоскость на 2 части, две пересекающиеся прямые — на 4. Каждая новая прямая удваивает число частей, поэтому три прямые делят плоскость на 8 частей». Оцените рассуждение.[[choice-9]]","widgets":{"choice-9":{"type":"choice","options":["Верно, если проверить еще четыре прямые: тогда правило будет доказано","Верно: удвоение подтвердилось и для одной, и для двух прямых, значит, правило выполняется всегда","Неверно: три прямые всегда делят плоскость ровно на 6 частей, как три прямые через одну точку","Неверно: двух примеров мало, а на рисунке у трех прямых не больше 7 частей"],"explanations":["Новые примеры тоже не доказывают; к тому же правило ломается уже на трех прямых","Два совпадения не доказывают правило; у трех прямых не больше 7 частей","6 частей — только если прямые проходят через одну точку; обычно частей 7",""],"answer":[3]}},"hints":["Правило «удваивается» угадано по двум примерам. Его надо проверить на рисунке.","Нарисуйте три прямые так, чтобы каждые две пересекались в разных точках: частей 7. Меньше получится, если прямые проходят через одну точку (6) или не пересекаются.","Восьми частей не бывает. Ответ: рассуждение неверное, двух примеров мало."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"7","content":"Решавр подставил в выражение $n^2+n+17$ числа $n = 1, 2, 3, 4, 5$ и получил 19, 23, 29, 37, 47 — все простые. «Значит, при любом натуральном $n$ получается простое число», — записал он. Оцените рассуждение.[[choice-10]]","widgets":{"choice-10":{"type":"choice","options":["Неверно: Решавр ошибся в вычислениях, при $n = 4$ должно получиться не 37, а 39, и это число составное","Верно, если проверить еще $n = 6$: получится 59, и утверждение будет доказано","Неверно: при $n = 16$ получается $289 = 17 \\cdot 17$, а пять примеров ничего не доказывают","Верно: утверждение проверено на пяти натуральных числах подряд, и ни одно из полученных чисел не оказалось составным"],"explanations":["При $n = 4$: $16 + 4 + 17 = 37$ — вычисления верны; ошибка в выводе","Шестой пример тоже ничего не доказывает; при $n = 16$ число составное","","Проверка на примерах не доказывает утверждение; при $n = 16$ получается $289 = 17 \\cdot 17$"],"answer":[2]}},"hints":["Пять примеров показывают, что утверждение верно для пяти чисел, но не для всех.","Для опровержения достаточно одного контрпримера. Попробуйте $n = 16$: $256 + 16 + 17 = 289$.","$289 = 17 \\cdot 17$ — не простое. Ответ: вывод неверный, пример $n = 16$ его опровергает."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр: «Если четырехугольник — квадрат, то все его углы прямые. Значит, если все углы четырехугольника прямые, то он квадрат». Оцените рассуждение.[[choice-11]]","widgets":{"choice-11":{"type":"choice","options":["Верно: если прямое утверждение верно, то обратное к нему следует из него автоматически","Неверно: прямоугольник $2 \\times 3$ см имеет прямые углы, но это не квадрат","Неверно: у квадрата не все углы прямые, поэтому уже первое утверждение Решавра ложно","Неверно: ромб имеет прямые углы, но это не квадрат"],"explanations":["Обратное утверждение — новое; прямоугольник с неравными сторонами его опровергает","","У квадрата все углы прямые — прямое утверждение верно; ошибка в переходе к обратному","Ромб с прямыми углами — это квадрат; контрпример — прямоугольник с неравными сторонами"],"answer":[1]}},"hints":["Решавр поменял условие и заключение местами — получил обратное утверждение. Его надо проверять заново.","Ищем четырехугольник с прямыми углами, который не квадрат: прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см.","Ответ: рассуждение неверное, контрпример — прямоугольник с неравными сторонами."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"8","content":"Решавр: «Если две прямые совпадают, то у них есть общие точки. Значит, если у двух прямых есть общая точка, то они совпадают». Оцените рассуждение.[[choice-12]]","widgets":{"choice-12":{"type":"choice","options":["Верно: обратное утверждение всегда следует из прямого, если само прямое утверждение верно","Верно: две различные прямые вообще не имеют общих точек","Неверно: у совпадающих прямых нет ни одной общей точки, поэтому прямое утверждение ложно","Неверно: две пересекающиеся прямые имеют общую точку, но не совпадают"],"explanations":["Обратное утверждение — новое; пересекающиеся прямые его опровергают","Различные прямые могут пересекаться и иметь одну общую точку","У совпадающих прямых все точки общие — прямое утверждение верно",""],"answer":[3]}},"hints":["Решавр поменял условие и заключение местами — получил обратное утверждение. Его надо проверять заново.","Ищем две прямые с общей точкой, которые не совпадают: две пересекающиеся прямые.","Ответ: рассуждение неверное, контрпример — пересекающиеся прямые."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Точка $C$ не лежит на прямой $AB$. Докажем, что прямые $AC$ и $BC$ различны. Пусть они совпадают. Тогда эта прямая проходит через точки $A$ и $B$, значит, это прямая $AB$. Но тогда точка $C$ лежит на прямой $AB$ — противоречие. На что опирается вывод «значит, это прямая $AB$»?[[choice-13]]","widgets":{"choice-13":{"type":"choice","options":["На определение отрезка: $A$ и $B$ — концы отрезка $AB$, а отрезок лежит на прямой $AB$","На аксиому: через любые две точки проходит прямая, и притом только одна","На рисунок: на нем хорошо видно, что совпавшая прямая проходит и через $A$, и через $B$","На условие: точка $C$ не лежит на прямой $AB$"],"explanations":["Отрезок здесь ни при чем: речь о том, сколько прямых проходит через две точки","","Рисунок показывает один случай и ничего не доказывает","Условие понадобится позже, когда получится противоречие"],"answer":[1]}},"hints":["Прямая проходит через $A$ и $B$. Что известно о прямых, проходящих через две точки?","Через две точки проходит только одна прямая — основное свойство прямой. Поэтому прямая через $A$ и $B$ — это $AB$.","Ответ: на основное свойство прямой."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"9","content":"Прямые $a$ и $b$ различны и пересекаются в точке $O$, точка $M$ лежит и на $a$, и на $b$. Докажем, что $M$ совпадает с $O$. Пусть $M$ не совпадает с $O$. Тогда у прямых $a$ и $b$ две общие точки $O$ и $M$, а так не бывает. На что опирается вывод «так не бывает»?[[choice-14]]","widgets":{"choice-14":{"type":"choice","options":["На рисунок: на нем прямые $a$ и $b$ пересекаются только в точке $O$, других общих точек не видно","На теорему: две различные прямые имеют не более одной общей точки","На аксиому: через любую точку проходит хотя бы одна прямая","На предположение: точка $M$ не совпадает с точкой $O$, поэтому общих точек у прямых две"],"explanations":["Рисунок показывает один случай и ничего не доказывает","","Эта аксиома не говорит о числе общих точек двух прямых","Предположение и приводит к противоречию, оно не может его обосновать"],"answer":[1]}},"hints":["У двух различных прямых нашлись две общие точки. Что известно об общих точках различных прямых?","Это теорема: две различные прямые имеют не более одной общей точки.","Ответ: на теорему о двух прямых."],"level":"повышенный","step":1},{"id":"10","content":"Распределите утверждения.[[grouper-1]]","widgets":{"grouper-1":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Аксиому принимают без доказательства","Две различные прямые имеют не более одной общей точки"],["Через две различные точки можно провести две различные прямые","Если на рисунке утверждение выполняется, то оно доказано"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение: аксиому принимают без доказательства, теорему доказывают.","Через две точки проходит одна прямая; две различные прямые имеют не более одной общей точки.","Верно: про аксиому и про две прямые. Неверно: про две прямые через две точки и про рисунок-доказательство."],"step":1},{"id":"10","content":"Распределите утверждения.[[grouper-2]]","widgets":{"grouper-2":{"type":"grouper","labels":["Верно","Неверно"],"items":[["Справедливость теоремы устанавливают доказательством","Через любые две точки проходит только одна прямая"],["Две различные прямые могут иметь две общие точки","Утверждение доказано, если оно верно на десяти примерах"]]}},"hints":["Проверьте каждое утверждение: теорему доказывают, аксиому принимают; один контрпример опровергает утверждение.","Через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.","Верно: про теорему и про единственную прямую. Неверно: про две общие точки и про доказательство примерами."],"step":1}]}</textarea></pre></div>