1. Планиметрия: Центральные и вписанные углы
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $136^{\circ},$ угол $ABD$ равен $78^{\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$136-78=58$$
Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны.
20
Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $118^{\circ},$ угол $ABD$ равен $61^{\circ}.$ Найдите угол $CAD.$ Ответ дайте в градусах.
Угол $ABC$ состоит из углов $ABD$ и $DBC.$ Значит, угол $DBC$ равен:$$118-61=57$$
Искомый угол $CAD$ равен углу $DBC,$ так как углы, опирающиеся на одни и те же дуги равны.
20
Центральный угол на $22^{\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине центрального.
Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+22=2x$$ $$x=22$$
20
Центральный угол на $18^{\circ}$ больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Вписанный угол равен половине центрального.
Примем искомый угол за $x.$ Тогда:$$x+18=2x$$ $$x=18$$
20
Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $182^{\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $94^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-182-94=84$$
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$84:2=42$$
20
Дуга окружности $AC,$ не содержащая точки $B,$ имеет градусную меру $152^{\circ},$ а дуга окружности $BC,$ не содержащая точки $A,$ имеет градусную меру $74^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Градусная мера всей окружности — $360$ градусов. Найдем дугу, на которую опирается угол $ACB$:$$360-152-74=134$$
Вписанный угол равен половине дуги, на которую опирается: $$134:2=67$$
20
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $54^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Углы $AOD$ и $COD$ вертикальные, значит, они равны. Треугольник $COB$ — равнобедренный, так как $CO$ и $OB$ — радиусы. Значит, углы при основании данного треугольника равны.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем искомый угол: $$180-54 = 126$$ $$126:2 = 63$$
20
Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $AOD$ равен $86^{\circ}.$ Найдите вписанный угол $ACB.$ Ответ дайте в градусах.
Углы $AOD$ и $COD$ вертикальные, значит, они равны. Треугольник $COB$ — равнобедренный, так как $CO$ и $OB$ — радиусы. Значит, углы при основании данного треугольника равны.
Сумма углов треугольника равна $180$ градусам. Найдем искомый угол: $$180-86 = 94$$ $$94:2 = 47$$
20