4. Преобразования выражений: Формулы с тремя переменными
Ускорение тела (в $м/с^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $$a = \omega^2R$$ где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $с ^{-1}$), a $R$ — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите $a$ (в $м/с^2$), если $R = 4 \space м$ и $\omega = 7 \space с^{-1}.$
Подставим значения переменных в формулу: $$a=7^2 \cdot 4 = 196$$
20
Ускорение тела (в $м/с^2$) при равномерном движении по окружности можно вычислить по формуле $$a = \omega^2R$$ где $\omega$ — угловая скорость вращения (в $с ^{-1}$), a $R$ — радиус окружности (в метрах). Пользуясь этой формулой, найдите $a$ (в $м/с^2$), если $R = 4 \space м$ и $\omega = 6 \space с^{-1}.$
Подставим значения переменных в формулу: $$a=6^2 \cdot 4 = 144$$
20
Среднее геометрическое трёх чисел $a,$ $b$ и $c$ вычисляется по формуле $$g = \sqrt[3]{abc}$$ Вычислите среднее геометрическое чисел $2, 4, 27.$
Вычислим среднее геометрическое по заданной формуле: $$g = \sqrt[3]{2 \cdot 4 \cdot 27}$$ $$g = \sqrt[3]{216}$$ $$g=6$$
20
Среднее геометрическое трёх чисел $a,$ $b$ и $c$ вычисляется по формуле $$g = \sqrt[3]{abc}$$ Вычислите среднее геометрическое чисел $3, 15, 75.$
Вычислим среднее геометрическое по заданной формуле: $$g = \sqrt[3]{3 \cdot 15 \cdot 75}$$ $$g = \sqrt[3]{3 \space 375}$$ $$g=15$$
20
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $$r= \frac{a+b-c}{2}$$
где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c,$ если $a = 6,$ $b = 8$ и $r = 2.$
Выразим из формулы $c$: $$r= \frac{a+b-c}{2}$$ $$2r=a+b+c$$ $$c=a+b-2r$$ Подставим значения переменных в полученную формулу: $$c=6+8-2\cdot 2=10$$
20
Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности вычисляется по формуле $$r= \frac{a+b-c}{2}$$
где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза. Пользуясь этой формулой, найдите $c,$ если $a = 20,$ $b = 21$ и $r = 6.$
Выразим из формулы $c$: $$r= \frac{a+b-c}{2}$$ $$2r=a+b+c$$ $$c=a+b-2r$$ Подставим значения переменных в полученную формулу: $$c=20+21-2\cdot 6=29$$
20
Длина медианы $m_c,$ проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a,$ $b$ и $c,$ вычисляется по формуле $$m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$$ Найдите медиану $m_c,$ если $a=\sqrt{3},$ $b= \sqrt{7}$ и $c=2.$
Подставим значения переменных в формулу: $$m_c=\frac{\sqrt{2 \cdot {\sqrt{3}}^2+2 \cdot { \sqrt{7}}^2-2^2}}{2}$$ $$m_c=\frac{\sqrt{6+14-4}}{2}=2$$
20
Длина медианы $m_c,$ проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a,$ $b$ и $c,$ вычисляется по формуле $$m_c=\frac{\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}{2}$$ Найдите медиану $m_c,$ если $a=\sqrt{6},$ $b=2\sqrt{13}$ и $c=4.$
Подставим значения переменных в формулу: $$m_c=\frac{\sqrt{2 \cdot {\sqrt{6}}^2+2 \cdot { (2\sqrt{13})}^2-4^2}}{2}$$ $$m_c=\frac{\sqrt{12+104-16}}{2}=5$$
20
Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $$A = I^2 Rt$$ где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$ (в джоулях), если $t = 2 \space с,$ $I = 6\space А$ и $R = 5\space Ом.$
Подставим значения переменных в формулу: $$A=6^2 \cdot 5 \cdot 2 = 360$$
20
Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле $$A = I^2 Rt$$ где $I$ — сила тока (в амперах), $R$ — сопротивление (в омах), $t$ — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите $A$ (в джоулях), если $t = 4 \space с,$ $I = 2\space А$ и $R = 10\space Ом.$
Подставим значения переменных в формулу: $$A=2^2 \cdot 10 \cdot 4 = 160$$
20
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $$V = abc$$ где $a,$ $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a,$ если $V = 27,$ $b = 3$ и $c = 4.5.$
Выразим из данной формулы $a$: $$a=\frac{V}{bc}$$ Подставим значения переменных: $$a=\frac{27}{3\cdot 4.5}=2$$
20
Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $$V = abc$$ где $a,$ $b$ и $c$ — длины трёх его рёбер, выходящих из одной вершины. Пользуясь этой формулой, найдите $a,$ если $V = 45,$ $b = 5$ и $c = 4.5.$
Выразим из данной формулы $a$: $$a=\frac{V}{bc}$$ Подставим значения переменных: $$a=\frac{45}{5\cdot 4.5}=2$$
20
Среднее гармоническое трёх чисел $a, b$ и $c$ вычисляется по формуле $$h=\Big(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\Big)^{-1}$$ Найдите среднее гармоническое чисел $\frac{1}{4}, \space \frac{1}{7}$ и $1.$
Найдём значения дробей $\frac{1}{a}, \space \frac{1}{b},\space \frac{1}{c}$: $$\frac{1}{a}=1:\frac{1}{4}=4$$ $$\frac{1}{b}=1:\frac{1}{7}=7$$ $$\frac{1}{c}=1:\frac{1}{1}=1$$
Подставим полученные числа в формулу: $$h=\Big(\frac{4+7+1}{3}\Big)^{-1}=4^{-1}=\frac{1}{4}=0.25$$
20
Среднее гармоническое трёх чисел $a, b$ и $c$ вычисляется по формуле $$h=\Big(\frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}{3}\Big)^{-1}$$ Найдите среднее гармоническое чисел $\frac{1}{5}, \space \frac{1}{9}$ и $1.$
Найдём значения дробей $\frac{1}{a}, \space \frac{1}{b},\space \frac{1}{c}$: $$\frac{1}{a}=1:\frac{1}{5}=5$$ $$\frac{1}{b}=1:\frac{1}{9}=9$$ $$\frac{1}{c}=1:\frac{1}{1}=1$$
Подставим полученные числа в формулу: $$h=\Big(\frac{5+9+1}{3}\Big)^{-1}=5^{-1}=\frac{1}{5}=0.2$$
20
Площадь треугольника вычисляется по формуле $$S=\frac{1}{2}bc \sin{\alpha}$$ где $b$ и $с$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S,$ если $b = 18,\space c= 16$ и $\sin{\alpha}=\frac{1}{3}.$
Подставим значения переменных в выражение: $$S=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 16 \cdot \frac{1}{3}=48$$
20
Площадь треугольника вычисляется по формуле $$S=\frac{1}{2}bc \sin{\alpha}$$ где $b$ и $с$ — две стороны треугольника, а $\alpha$ — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите площадь $S,$ если $b = 14,\space c= 9$ и $\sin{\alpha}=\frac{2}{3}.$
Подставим значения переменных в выражение: $$S=\frac{1}{2}\cdot 14\cdot 9 \cdot \frac{2}{3}=42$$
20
Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи поверхности вычисляется по формуле $$E=mgh$$где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в $м/с$), а $h$ — высота (в метрах), на которой находится это тело, относительно условного нуля. Пользуясь этой формулой, найдите $m$ (в килограммах), если $g=9.8 \space м/с,$ $h=2\space м,$ а $E=98\space Дж.$
Выразим из формулы $m$: $$m=\frac{E}{gh}$$ $$m=\frac{98}{9.8 \cdot 2}=5$$
20
Потенциальная энергия тела (в джоулях) в поле тяготения Земли вблизи поверхности вычисляется по формуле $$E=mgh$$где $m$ — масса тела (в килограммах), $g$ — ускорение свободного падения (в $м/с$), а $h$ — высота (в метрах), на которой находится это тело, относительно условного нуля. Пользуясь этой формулой, найдите $m$ (в килограммах), если $g=9.8 \space м/с,$ $h=2\space м,$ а $E=490\space Дж.$
Выразим из формулы $m$: $$m=\frac{E}{gh}$$ $$m=\frac{490}{9.8 \cdot 2}=25$$
20