13. Задачи по стереометрии: шар

Площадь поверхности шара:$$ S = 4\pi R^2 $$Вычислим отношение площадей:$$ \frac{S_1}{S_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^2 = \left(\frac{5}{1}\right)^2 = 25 $$Площадь поверхности первого шара больше в $25$ раз.

Объем шара:$$ V = \frac{4}{3}\pi R^3 $$Вычислим объем большего шара:$$ V_{\text{бол}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 4^3 = \frac{256}{3}\pi $$Вычислим объем меньшего шара:$$ V_{\text{мен}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 1^3 = \frac{4}{3}\pi $$ Найдем отношение объемов:$$ \dfrac{V_{\text{бол}}}{V_{\text{мен}}} = \dfrac{\frac{256}{3}\pi}{\frac{4}{3}\pi} = 64 $$Объем большего шара больше в $64$ раза.

Так как куб описан около сферы, длина его стороны совпадает с диаметром сферы:$$D = 2r = 2 \cdot 5 = 10$$

Объем куба можно вычислить по формуле: $$V = a^3 = 10^3 = 1\ 000$$

Площадь поверхности шара вычисляется по формуле: $$S = 4 \pi r^2$$ Площадь круга можно вычислить по формуле: $$S = \pi r^2$$

Из вышеуказанных формул видно, что площади различаются в $4$ раза: $$44:4 = 11$$

Так как шар вписан в цилиндр, радиус шара равен радиусу основания цилиндра, а диаметр шара равен высоте цилиндра. Объем шара вычисляется по формуле:$$V_{шара} = \frac{4}{3} \pi r^3$$ Объем цилиндра вычисляется по формуле:$$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot h$$ Но так как высота цилиндра является диаметром шара, можно записать: $$V_{цилиндра} = \pi r^2 \cdot 2r=2 \pi r^3$$

Таким образом, объемы фигур различаются в $\frac{2}{3}$ раза: $$8:\frac{2}{3} = 12$$