7. Молекулярная физика: Изопроцессы
$1$ моль идеального газа подвергли изохорному процессу, в результате которого его давление уменьшилось в $3$ раза. Если конечная температура газа составила $T_2 = 630\,\text{К}$, определите начальную температуру газа. Ответ запишите в кельвинах.
Закон Шарля для изохорного процесса:
$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$
где $p_1$ и $T_1$ — начальные давление и температура, $p_2$ и $T_2$ — конечные.
2. Изменение давления:
По условию:
$$\frac{p_1}{p_2} = 3$$
3. Выражаем начальную температуру:
$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{p_1}{p_2} = 3$$
$$T_1 = 3T_2$$
4. Расчет начальной температуры:
$$T_1 = 3 \cdot 630\,\text{К} = 1\ 890\,\text{К}$$
20
На $VT$-диаграмме изображен процесс изменения состояния $1$ моль одноатомного идеального газа. Начальное давление газа составляет $p_1 = 160\,\text{кПа}$. Определите конечное давление газа. Ответ запишите в килопаскалях.
Изотермический процесс:
Для изотермического процесса $(T = const)$ справедлив закон Бойля-Мариотта:
$$p_1V_1 = p_2V_2$$
2. Изменение объема:
По условию:
$$\frac{V_2}{V_1} = 4$$
3. Вычисление конечного давления:
$$p_2 = \frac{p_1V_1}{V_2} = \frac{p_1}{4} = \frac{160\,\text{кПа}}{4} = 40\,\text{кПа}$$
20
Идеальный газ переходит из состояния $1$ в состояние $2.$ Определите отношение температуры газа в состоянии $1$ к его температуре в состоянии $2.$
Уравнение состояния для каждого состояния:
Состояние 1: $p_1V_1 = \nu RT_1$
Состояние 2: $p_2V_2 = \nu RT_2$
2. Подстановка известных значений:
$2p_0 \cdot 2V_0 = \nu RT_1$
$p_0 \cdot V_0 = \nu RT_2$
3. Вычисление отношения температур:
$$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2p_0 \cdot 2V_0}{p_0 \cdot V_0} = 4$$
20
На рисунке изображен изохорный процесс изменения состояния постоянной массы разреженного аргона. Температура газа в состоянии $1$ составляет $27^\circ\text{C}$. Определите температуру газа в состоянии $2,$ если давление изменилось с $1 \cdot 10^4\,\text{Па}$ до $3 \cdot 10^4\,\text{Па}$. Ответ выразите в кельвинах.
Перевод температуры в Кельвины:
$$T_1 = 27^\circ\text{C} + 273 = 300\,\text{K}$$
2. Закон Шарля для изохорного процесса:
$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$
3. Выражаем конечную температуру:
$$T_2 = \frac{p_2T_1}{p_1} = \frac{3 \cdot 10^4\,\text{Па} \cdot 300\,\text{K}}{1 \cdot 10^4\,\text{Па}}$$
4. Расчет температуры:
$$T_2 = 900\,\text{K}$$
20
Воздух в закрытом сосуде при постоянном объеме имеет температуру $273\ К.$ До какой температуры необходимо нагреть воздух, чтобы его давление увеличилось в $3$ раза? Ответ дайте в кельвинах.
Закон Шарля для изохорного процесса:
$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2} = \text{const}$$
2. Изменение давления:
По условию:
$$\frac{p_2}{p_1} = 3$$
3. Вычисление конечной температуры:
$$\frac{T_2}{T_1} = \frac{p_2}{p_1} = 3$$
$$T_2 = 3T_1 = 3 \cdot 273\,\text{К} = 819\,\text{К}$$
20
В закрытом баллоне находится воздух при температуре $T_1 = 300\,\text{К}$ и давлении $p_1 = 100\,\text{кПа}$. После нагревания до температуры $T_2 = 450\,\text{К}$ определите установившееся давление воздуха. Ответ запишите в килопаскалях.
Закон Шарля для изохорного процесса:
$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$
2. Выражаем конечное давление:
$$p_2 = \frac{p_1T_2}{T_1}$$
3. Подставляем значения:
$$p_2 = \frac{100\,\text{кПа} \cdot 450\,\text{К}}{300\,\text{К}}$$
4. Вычисление:
$$p_2 = 150\,\text{кПа}$$
20
$4$ моля идеального газа охлаждаются изохорно в герметичном сосуде от температуры $t_1 = 127\,^\circ\text{C}$ до $t_2 = 27\,^\circ\text{C}$. Определите отношение конечного давления газа к начальному $\frac{p_2}{p_1}$.
Перевод температур в Кельвины:
Начальная температура: $T_1 = 127 + 273 = 400\,\text{К}$
Конечная температура: $T_2 = 27 + 273 = 300\,\text{К}$
2. Закон Шарля для изохорного процесса:
$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}$$
3. Вычисление отношения давлений:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} = \frac{300}{400} = 0.75$$
20
При изохорном процессе с постоянной массой идеального газа средняя кинетическая энергия его молекул увеличилась в $2$ раза. Если начальное давление газа составляло $p_1 = 30\,\text{кПа}$, определите конечное давление газа. Ответ запишите в килопаскалях.
Связь энергии и температуры:
Для идеального газа:
$$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$$ где $k$ — постоянная Больцмана.
2. Изменение энергии:
По условию:
$$\frac{\langle E_{k2} \rangle}{\langle E_{k1} \rangle} = 2$$
3. Изменение температуры:
$$\frac{T_2}{T_1} = 2$$
4. Закон Шарля для изохорного процесса:
$$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1} = 2$$
5. Расчет конечного давления:
$$p_2 = 2p_1 = 2 \cdot 30\,\text{кПа} = 60\,\text{кПа}$$
20
В ходе изохорного процесса, происходящего с постоянной массой идеального газа, его давление возросло с $p_1 = 40\,\text{кПа}$ до $p_2 = 120\,\text{кПа}$. Во сколько раз увеличилась средняя кинетическая энергия теплового движения молекул газа в этом процессе?
Закон Шарля для изохорного процесса:
При постоянном объеме ($V = \text{const}$) давление идеального газа прямо пропорционально его абсолютной температуре: $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}.$$
2. Определение изменения температуры:
Подставляем значения давлений: $$\frac{120\,\text{кПа}}{40\,\text{кПа}} = 3. $$
Следовательно, температура увеличилась в $3$ раза: $$T_2 = 3T_1.$$
3. Связь средней кинетической энергии с температурой:
Для идеального газа средняя кинетическая энергия молекул определяется выражением: $$\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT,$$ где $k$ — постоянная Больцмана.
4. Изменение средней кинетической энергии:
Поскольку $T_2 = 3T_1$, то: $$\frac{\langle E_{k2} \rangle}{\langle E_{k1} \rangle} = \frac{\frac{3}{2}kT_2}{\frac{3}{2}kT_1} = \frac{T_2}{T_1} = 3. $$
20
В закрытом сосуде с жесткими стенками содержится идеальный газ при температуре $T_1 = 27\,^\circ\text{C}$. Температуру газа повысили до $T_2 = 147\,^\circ\text{C}$. Во сколько раз изменилось давление этого газа? Ответ округлите до десятых долей.
Перевод температур в абсолютную шкалу: $$ T_1 = 27\,^\circ\text{C} + 273 = 300\,\text{K}$$ $$T_2 = 147\,^\circ\text{C} + 273 = 420\,\text{K}$$
2. Закон Шарля для изохорного процесса:
Поскольку объем сосуда постоянен ($V = \text{const}$), давление газа прямо пропорционально его абсолютной температуре:
$$ \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{T_1}.$$
3. Расчет изменения давления:
Подставляем значения температур:$$ \frac{p_2}{p_1} = \frac{420\,\text{K}}{300\,\text{K}} = 1.4. $$
20
В жестком сосуде находится некоторое постоянное количество идеального газа. Температуру газа увеличили в $3$ раза, при этом давление возросло на $\Delta p = 50\,\text{кПа}$. Определите начальное давление газа в сосуде. Ответ дайте в килопаскалях.
Анализ условий задачи:
Сосуд жесткий $\Rightarrow V = \text{const}$ (изохорный процесс).
Количество вещества газа постоянно.
Начальное давление: $p_1$.
Конечное давление: $p_2 = p_1 + \Delta p = p_1 + 50\,\text{кПа}$.
Начальная температура: $T_1$.
Конечная температура: $T_2 = 3T_1$.
2. Применение закона Шарля:
Для изохорного процесса: $$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T_2}.$$
Подставляем известные величины:$$\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_1 + 50}{3T_1}. $$
3. Решение уравнения:
Упрощаем уравнение, умножая обе части на $3T_1$:$$3p_1 = p_1 + 50.$$
Переносим $p_1$ в левую часть:$$2p_1 = 50. $$
Находим начальное давление:
$$ p_1 = \frac{50}{2} = 25\,\text{кПа}. $$
20