ЕГЭ Информатика 21. Выигрышная стратегия: часть 3

21. Выигрышная стратегия: часть 3: #295299

Задание #295299

Задание было решено верно

Задание было решено неверно

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.

За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч (по своему выбору) $2$ камня;
– увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в $2$ раза.

Например, пусть в одной куче $20$ камней, а в другой $30$ камней; такую позицию в игре обозначим $(20, 30)$. Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: $(22, 30)$, $(20, 32)$, $(40, 30)$, $(20, 60)$.

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее $101$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно $101$ камень или больше.

В начальный момент в первой куче было $7$ камней, во второй куче – $S$ камней; $1 \leq S \leq 93$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного первого хода Пети.

Для игры, описанной в задании $19$, найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.

Первый способ – математическое решение

Минимальное подходящее значение: $S=41$.

После первого хода Пети возможны позиции: $(9;41),\ (7;43),\ (14;41),\ (7;82)$.

Из позиции $(7;82)$ Ваня выигрывает сразу.

Если Петя получил $(9;41)$, Ваня удваивает первую кучу: $(9;41)\rightarrow(18;41)$.

После этого Петя может получить: $(20;41),\ (18;43),\ (36;41),\ (18;82)$.

Из каждой такой позиции Ваня выигрывает следующим ходом:

$(20;41)\rightarrow(20;82)$, сумма $102$;
$(18;43)\rightarrow(18;86)$, сумма $104$;
$(36;41)\rightarrow(36;82)$, сумма $118$;
$(18;82)\rightarrow(20;82)$, сумма $102$.

Если Петя получил $(7;43)$ или $(14;41)$, Ваня переводит игру в позицию $(14;43)$, после которой также гарантированно выигрывает своим вторым ходом.

При этом после хода Пети $(7;41)\rightarrow(9;41)$ Ваня не может выиграть сразу, поэтому гарантированной победы первым ходом у него нет.

Второй способ – решение с помощью Python

def moves(a, b):
    return [(a + 2, b), (a, b + 2),
            (a * 2, b), (a, b * 2)]

def win1(a, b):
    return a + b < 101 and any(
        x + y >= 101 for x, y in moves(a, b)
    )

def win2(a, b):
    if win1(a, b):
        return True

    return any(
        all(
            x + y < 101 and win1(x, y)
            for x, y in moves(c, d)
        )
        for c, d in moves(a, b)
        if c + d < 101
    )

for S in range(1, 94):
    petya = moves(7, S)

    if (
        all(a + b < 101 and win2(a, b) for a, b in petya)
        and not all(win1(a, b) for a, b in petya)
    ):
        print(S)
        break

Программа проверяет, что после любого хода Пети Ваня может выиграть первым или вторым ходом, но не может гарантированно выиграть своим первым ходом.

Программа выведет: $41$.

Показать

21. Выигрышная стратегия: часть 3: #295299

Сообщить об ошибке в задании