ЕГЭ Информатика 21. Выигрышная стратегия: часть 3

21. Выигрышная стратегия: часть 3: #295303

Задание #295303

Задание было решено верно

Задание было решено неверно

Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя.

За один ход игрок может:
– добавить в одну из куч (по своему выбору) $3$ камня;
– увеличить количество камней в одной из куч (по своему выбору) в $2$ раза.

Например, пусть в одной куче $20$ камней, а в другой $30$ камней; такую позицию в игре обозначим $(20, 30)$. Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: $(23, 30)$, $(20, 33)$, $(40, 30)$, $(20, 60)$.

Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней. Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в двух кучах становится не менее $129$. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший такую игровую позицию, при которой в двух кучах суммарно $129$ камней или больше.

В начальный момент в первой куче было $9$ камней, во второй куче – $S$ камней; $1 \leq S \leq 119$.

Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника.

Известно, что Ваня выиграл своим первым ходом после неудачного хода Пети.

Для игры, описанной в задании $19$, найдите наименьшее значение $S$, при котором одновременно выполняются два условия:

у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети;
у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом.

Если найдено несколько значений $S$, в ответе запишите наименьшее из них.

Первый способ – математическое решение

Минимальное подходящее значение: $S=51$.

После первого хода Пети возможны позиции: $(12;51),\ (9;54),\ (18;51),\ (9;102)$.

Из позиции $(9;102)$ Ваня выигрывает сразу.

Если Петя получил $(12;51)$, Ваня удваивает первую кучу: $(12;51)\rightarrow(24;51)$.

После этого Петя может получить: $(27;51),\ (24;54),\ (48;51),\ (24;102)$, и из каждой позиции Ваня выигрывает следующим ходом.

Если Петя получил $(9;54)$, Ваня получает: $(9;54)\rightarrow(18;54)$.

Если Петя получил $(18;51)$, Ваня также получает: $(18;51)\rightarrow(18;54)$.

Из позиции $(18;54)$ Ваня гарантированно выигрывает своим вторым ходом.

При этом после хода Пети $(9;51)\rightarrow(12;51)$ Ваня не может выиграть сразу, поэтому гарантированной победы первым ходом у него нет.

Второй способ – решение с помощью Python

def moves(a, b):
    return [(a + 3, b), (a, b + 3),
            (a * 2, b), (a, b * 2)]

def win1(a, b):
    return a + b < 129 and any(
        x + y >= 129 for x, y in moves(a, b)
    )

def win2(a, b):
    if win1(a, b):
        return True

    return any(
        all(
            x + y < 129 and win1(x, y)
            for x, y in moves(c, d)
        )
        for c, d in moves(a, b)
        if c + d < 129
    )

for S in range(1, 120):
    petya = moves(9, S)

    if (
        all(a + b < 129 and win2(a, b) for a, b in petya)
        and not all(win1(a, b) for a, b in petya)
    ):
        print(S)
        break

Программа проверяет, что после любого хода Пети Ваня может выиграть первым или вторым ходом, но не может гарантированно выиграть своим первым ходом.

Программа выведет: $51$.

Показать

21. Выигрышная стратегия: часть 3: #295303

Сообщить об ошибке в задании