26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216106

Обоснование:

$1)$ Систему отсчета, связанную с Землей, считаем инерциальной.

$2)$ При движении бруска по гладкой наклонной плоскости работа силы реакции опоры равна нулю, поэтому механическая энергия сохраняется.

$3)$ При столкновении время взаимодействия мало, поэтому силой тяжести можно пренебречь по сравнению с силой взаимодействия, и закон сохранения импульса выполняется.

Решение:

$1)$ Найдем скорость бруска $v_1$ в момент удара. По закону сохранения энергии: $$Mgx \sin \alpha = \dfrac{Mv_1^2}{2}$$
$2)$ Выразим скорость $v_1{:}$ $$v_1 = \sqrt{2gx \sin \alpha}$$

$3)$ Подставим числовые значения $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $x = 3.6 \space \text{м},$ $\sin 30^\circ = 0.5{:}$ $$v_1 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 3.6 \cdot 0.5} = \sqrt{36} = 6 \space \text{м/с}$$

$4)$ Запишем закон сохранения импульса при неупругом ударе. Направим ось вверх вдоль наклонной плоскости: $$-Mv_1 + mv = (M + m)u$$

$5)$ После удара брусок с пулей поднимаются на высоту. По закону сохранения энергии: $$\dfrac{(M + m)u^2}{2} = (M + m)gS \sin \alpha$$

$6)$ Выразим скорость $u$ после удара: $$u = \sqrt{2gS \sin \alpha}$$
$7)$ Подставим числовые значения $S = 2.5 \space \text{м}{:}$ $$u = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 2.5 \cdot 0.5} = \sqrt{25} = 5 \space \text{м/с}$$ $8)$ Из закона сохранения импульса выразим массу пули $m{:}$ $$-Mv_1 + mv = (M + m)u$$ $$mv- mu = Mv_1 + Mu$$ $$m(v- u) = M(v_1 + u)$$ $$m = \dfrac{M(v_1 + u)}{v- u}$$ $9)$ Подставим числовые значения $M = 0.25 \space \text{кг},$ $v_1 = 6 \space \text{м/с},$ $u = 5 \space \text{м/с},$ $v = 555 \space \text{м/с}{:}$ $$m = \dfrac{0.25 \cdot (6 + 5)}{555- 5} = \dfrac{0.25 \cdot 11}{550} = \dfrac{2.75}{550} = 0.005 \space \text{кг} = 5 \space \text{г}$$ Ответ: $5 \space \text{г}$ масса пули.