26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216104

Обоснование:

$1)$ Введем инерциальную систему отсчета, связанную с Землей.

$2)$ Тела движутся поступательно, размеры малы по сравнению с длиной нити, поэтому шарик и пулю можно считать материальными точками.

$3)$ Время взаимодействия пули и шарика мало, поэтому за это время нить не успевает заметно отклониться. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют, поэтому сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы.

$4)$ После удара механическая энергия шарика сохраняется, так как работа силы натяжения нити равна нулю.

$5)$ За нулевой уровень потенциальной энергии примем уровень положения равновесия шарика.

Решение:

$1)$ Найдем скорость шара $v_0$ в нижней точке до удара. По закону сохранения энергии:

$$MgL(1- \cos \alpha) = \dfrac{Mv_0^2}{2}$$

$2)$ Выразим скорость $v_0{:}$

$$v_0 = \sqrt{2gL(1- \cos \alpha)}$$

$3)$ Подставим числовые значения $\alpha = 60^\circ,$ $\cos 60^\circ = 0.5,$ $L = 0.4 \space \text{м},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2{:}$

$$v_0 = \sqrt{2 \cdot 10 \cdot 0.4 \cdot (1- 0.5)} = \sqrt{8 \cdot 0.5} = \sqrt{4} = 2 \space \text{м/с}$$

$4)$ Запишем закон сохранения импульса в горизонтальном направлении. Направим ось в направлении начального движения шара:

$$Mv_0- mv_1 = Mu- mv_2$$

где $v_1 = 200 \space \text{м/с}$ — скорость пули до удара, $v_2 = 100 \space \text{м/с}$ — скорость пули после удара, $u$ — скорость шара после удара.

$5)$ Выразим скорость шара после удара:

$$u = v_0- \dfrac{m}{M}(v_1- v_2)$$

$6)$ Подставим числовые значения $M = 2 \space \text{кг},$ $m = 0.02 \space \text{кг}{:}$

$$u = 2- \dfrac{0.02}{2}(200- 100) = 2- 0.01 \cdot 100 = 2- 1 = 1 \space \text{м/с}$$

$7)$ После удара шар поднимается на максимальную высоту. По закону сохранения энергии:

$$\dfrac{Mu^2}{2} = MgL(1- \cos \beta)$$

$8)$ Выразим $\cos \beta{:}$

$$\cos \beta = 1- \dfrac{u^2}{2gL}$$

$9)$ Подставим числовые значения:

$$\cos \beta = 1- \dfrac{1^2}{2 \cdot 10 \cdot 0.4} = 1- \dfrac{1}{8} = 1- 0.125 = 0.875$$

Ответ: $0.875$ косинус максимального угла отклонения шара от вертикали после попадания пули.