26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #216116

Обоснование:

$1)$ Рассматриваем задачу в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.

$2)$ Пуля и шарик имеют малые размеры по сравнению с длиной стержня, поэтому их можно считать материальными точками.

$3)$ При ударе внешние силы в горизонтальном направлении отсутствуют, поэтому применяем закон сохранения импульса.

$4)$ После удара механическая энергия системы сохраняется, так как трение отсутствует и работа силы реакции стержня равна нулю.

$5)$ В верхней точке траектории движение можно считать равномерным по окружности для нахождения центростремительного ускорения.

Решение:

$1)$ При неупругом ударе пули и шарика применяем закон сохранения импульса:

$$m_1V = (m_1 + m_2)v_1$$

$2)$ Находим скорость системы сразу после удара: $$v_1 = \dfrac{m_1V}{m_1 + m_2}$$

$3)$ Подставим числовые значения $m_1 = 0.004 \space \text{кг},$ $m_2 = 0.1 \space \text{кг},$ $V = 125 \space \text{м/с}{:}$ $$v_1 = \dfrac{0.004 \cdot 125}{0.004 + 0.1} = \dfrac{0.5}{0.104} \approx 4.808 \space \text{м/с}$$

$4)$ Применяем закон сохранения механической энергии для движения от нижней точки до верхней точки траектории: $$\dfrac{(m_1 + m_2)v_1^2}{2} = \dfrac{(m_1 + m_2)v_2^2}{2} + (m_1 + m_2)g \cdot 2l$$

$5)$ Сокращаем массу и выражаем квадрат скорости в верхней точке: $$v_2^2 = v_1^2- 4gl$$

$6)$ Подставим числовые значения $v_1 \approx 4.808 \space \text{м/с},$ $g = 10 \space \text{м/с}^2,$ $l = 0.5 \space \text{м}{:}$ $$v_2^2 = (4.808)^2- 4 \cdot 10 \cdot 0.5 = 23.117- 20 = 3.117 \space \text{м}^2/\text{с}^2$$

$7)$ Находим центростремительное ускорение в верхней точке: $$a = \dfrac{v_2^2}{l} = \dfrac{3.117}{0.5} = 6.234 \space \text{м/с}^2$$

Ответ: $6.23 \space \text{м/с}^2$ модуль центростремительного ускорения шарика в верхней точке окружности.