24. Молекулярная физика. Термодинамика: расчетная задача высокого уровня: #215515

$1)$ Введем в $СИ$ объемы: $V_1=25\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3$ и $V_2=50\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3.$

$2)$ Для одного моля идеального одноатомного газа уравнение состояния имеет вид $pV=RT,$ отсюда температура $T=\dfrac{pV}{R}.$

$3)$ Среднеквадратичная скорость атомов массой $M$ (молярная масса в кг/моль) равна $v=\sqrt{\dfrac{3RT}{M}}.$ Подставляя $RT=pV$ для $n=1$ получаем удобную формулу
$v=\sqrt{\dfrac{3pV}{M}}.$

$4)$ В начальном состоянии среднеквадратичная скорость
$v_1=\sqrt{\dfrac{3p_1V_1}{M}}.$
Возьмем молярную массу неона $M=20\cdot 10^{-3}\ \text{кг/моль}.$ Тогда численно
$$v_1=\sqrt{\dfrac{3\cdot 10^5\cdot 25\cdot 10^{-3}}{20\cdot 10^{-3}}}=\sqrt{375000}\approx 612{.}4\ \text{м/с}$$

$5)$ По условию $\alpha=\dfrac{p_1}{2V_1},$ поэтому давление в конце процесса равно
$p_2=p_1+\alpha(V_2-V_1)=p_1+\dfrac{p_1}{2V_1}(V_2-V_1)=p_1\cdot\dfrac{V_1+V_2}{2V_1}.$
Подставляя численно, получаем $p_2=1{.}5\cdot 10^5\ \text{Па}.$

$6)$ Тогда среднеквадратичная скорость в конце процесса
$v_2=\sqrt{\dfrac{3p_2V_2}{M}}.$
Численно
$$v_2=\sqrt{\dfrac{3\cdot 1{.}5\cdot 10^5\cdot 50\cdot 10^{-3}}{20\cdot 10^{-3}}}=\sqrt{1125000}\approx 1060{.}7\ \text{м/с}$$

$7)$ Искомое изменение скорости равно
$$v_2-v_1\approx 1060{.}7-612{.}4\approx 448\ \text{м/с}$$

Итог: изменение среднеквадратичной скорости атомов неона равно $448\ \text{м/с}.$