25. Электродинамика: расчетная задача высокого уровня: #215236

$1)$ Направляем ось $Ox$ по направлению напряженности электрического поля $\vec{E}.$

$2)$ На заряд $q$ действуют силы:
— Со стороны поля: $F_1 = qE$ (вправо)
— Со стороны заряда $Q$: $F = \dfrac{k|qQ|}{d^2}$ (притяжение, влево)

$3)$ На заряд $Q$ действуют силы:
— Со стороны поля: $F_2 = |Q|E$ (влево, т.к. $Q < 0$)
— Со стороны заряда $q$: $F = \dfrac{k|qQ|}{d^2}$ (притяжение, вправо)

$4)$ Уравнения движения по второму закону Ньютона:
$$ma = qE- \dfrac{k|qQ|}{d^2} \quad (1)$$
$$Ma = \dfrac{k|qQ|}{d^2}-|Q|E \quad (2)$$

$5)$ По условию ускорения равны по величине и направлению ($a > 0$). Приравниваем ускорения из (1) и (2):
$$\dfrac{qE-F}{m} = \dfrac{F-|Q|E}{M}$$

$6)$ Умножаем обе части на $mM$:
$$M(qE -F) = m(F-|Q|E)$$
$$MqE- MF = mF- m|Q|E$$

$7)$ Переносим слагаемые с $F$ в одну сторону:
$$MqE + m|Q|E = mF + MF$$
$$E(Mq + m|Q|) = F(m + M)$$

$8)$ Выражаем расстояние $d$:
$$F = \dfrac{k|qQ|}{d^2} = \dfrac{E(Mq + m|Q|)}{m + M}$$
$$d^2 = \dfrac{k|qQ|(m + M)}{E(Mq + m|Q|)}$$

$9)$ Подставляем числовые значения:
— $k = 9 \cdot 10^9 \space \text{Нм}^2/\text{Кл}^2$
— $q = 5 \cdot 10^{-9} \space \text{Кл},$ $Q = -1 \cdot 10^{-9} \space \text{Кл}$
— $m = 0.01 \space \text{кг},$ $M = 0.005 \space \text{кг}$
— $E = 18 \space \text{В/м}$

$10)$ Вычисляем:
$$d^2 = \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 1 \cdot 10^{-9} \cdot (0.01 + 0.005)}{18 \cdot (0.005 \cdot 5 \cdot 10^{-9} + 0.01 \cdot 1 \cdot 10^{-9})}$$
$$d^2 = \dfrac{9 \cdot 10^9 \cdot 5 \cdot 10^{-9} \cdot 10^{-9} \cdot 0.015}{18 \cdot (25 \cdot 10^{-12} + 10 \cdot 10^{-12})}$$
$$d^2 = \dfrac{6.75 \cdot 10^{-10}}{18 \cdot 35 \cdot 10^{-12}} = \dfrac{6.75 \cdot 10^{-10}}{630 \cdot 10^{-12}} = \dfrac{6.75}{0.63} \approx 10.71$$
$$d \approx \sqrt{10.71} \approx 1.03 \space \text{м}$$

Ответ: $d \approx 1.0 \space \text{м}$ расстояние между зарядами.