25. Электродинамика: расчетная задача высокого уровня: #215232

$1)$ На шарик действуют две силы: сила со стороны электрического поля $F = Eq$ (горизонтально) и сила тяжести $mg$ (вертикально).

$2)$ Проекции ускорения шарика:
$$a_x = \dfrac{Eq}{m}, \quad a_y = g$$

$3)$ Шарик проходит горизонтально расстояние $\dfrac{d}{2}$ до пластины:
$$\dfrac{d}{2} = \dfrac{a_x t^2}{2} \Rightarrow d = a_x t^2$$

$4)$ Выражаем время движения:
$$t = \sqrt{\dfrac{d}{a_x}} = \sqrt{\dfrac{md}{Eq}}$$

$5)$ Проекции скорости в момент касания:
$$v_x = a_x t = \dfrac{Eq}{m} \cdot \sqrt{\dfrac{md}{Eq}} = \sqrt{\dfrac{Eq d}{m}}$$
$$v_y = g t = g \sqrt{\dfrac{md}{Eq}}$$

$6)$ Полная скорость шарика:
$$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = \dfrac{Eq d}{m} + \dfrac{g^2 m d}{Eq}$$

$7)$ Выражаем расстояние $d$:
$$v^2 = d \left( \dfrac{Eq}{m} + \dfrac{g^2 m}{Eq} \right)$$
$$d = \dfrac{v^2}{\dfrac{Eq}{m} + \dfrac{g^2 m}{Eq}} = \dfrac{m v^2 Eq}{(Eq)^2 + (mg)^2}$$

$8)$ Подставляем числовые значения:
— $E = 10^4 \space \text{В/м}$
— $q = 2 \cdot 10^{-6} \space \text{Кл}$
— $m = 10^{-3} \space \text{кг}$
— $v = 4.4 \space \text{м/с}$
— $g = 10 \space \text{м/с}^2$

$9)$ Вычисляем:
$$d = \dfrac{10^{-3} \cdot (4.4)^2 \cdot 10^4 \cdot 2 \cdot 10^{-6}}{(10^4 \cdot 2 \cdot 10^{-6})^2 + (10^{-3} \cdot 10)^2}$$
$$d = \dfrac{10^{-3} \cdot 19.36 \cdot 2 \cdot 10^{-2}}{(2 \cdot 10^{-2})^2 + (10^{-2})^2} = \dfrac{3.872 \cdot 10^{-4}}{4 \cdot 10^{-4} + 1 \cdot 10^{-4}}$$
$$d = \dfrac{3.872 \cdot 10^{-4}}{5 \cdot 10^{-4}} = 0.7744 \space \text{м}$$

Ответ: $0.77 \space \text{м}$ расстояние между пластинами.