15. Стереометрическая задача: #210545

$а)$ Треугольники $AEF$ и $ABC$ подобны с коэффициентом подобия $k = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{10}{12} = \dfrac{5}{6}.$ Следовательно, площадь треугольника $AEF$ равна:
$$S_{AEF} = k^2 \cdot S_{ABC} = \dfrac{25}{36} S_{ABC}$$

Высота пирамиды $SABC$ равна $SO = \sqrt{SA^2 -AO^2}.$ В правильном треугольнике со стороной $12$ радиус описанной окружности $$AO = \dfrac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$ Тогда:
$$SO = \sqrt{25^2 -(4\sqrt{3})^2} = \sqrt{625 -48} = \sqrt{577}$$

Высота пирамиды $KAEF$ равна $KL,$ где $L$ — проекция точки $K$ на основание $AEF.$ Из подобия треугольников $AKL$ и $ASO$ с коэффициентом $\dfrac{AK}{AS} = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5}$ получаем:
$$KL = \dfrac{3}{5} SO = \dfrac{3}{5} \sqrt{577}$$

Объем пирамиды $KAEF$:
$$V_{KAEF} = \dfrac{1}{3} S_{AEF} \cdot KL = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{25}{36} S_{ABC} \cdot \dfrac{3}{5} \sqrt{577} = \dfrac{5}{12} \cdot \dfrac{1}{3} S_{ABC} \cdot \sqrt{577} = \dfrac{5}{12} V_{SABC}$$

$б)$ Сечение пирамиды плоскостью $KEF$ — треугольник $KEF.$ Найдем его площадь. Сторона $EF$ треугольника $KEF$ равна: $$EF = k \cdot BC = \dfrac{5}{6} \cdot 12 = 10$$

Для нахождения высоты $KH$ треугольника $KEF$ рассмотрим точку $H$ — основание высоты из $K$ на $EF.$ В правильном треугольнике $ABC$ высота $AM = \dfrac{12\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}.$ Тогда $AH = \dfrac{5}{6} AM = 5\sqrt{3}.$

Из подобия треугольников $AKL$ и $ASO$ находим:$$AL = \dfrac{3}{5} AO = \dfrac{3}{5} \cdot 4\sqrt{3} = \dfrac{12\sqrt{3}}{5}$$ Тогда: $$LH = AH- AL = 5\sqrt{3}- \dfrac{12\sqrt{3}}{5} = \dfrac{13\sqrt{3}}{5}$$

Высота $KL = \dfrac{3}{5} \sqrt{577},$ поэтому:
$$KH = \sqrt{KL^2 + LH^2} = \sqrt{\dfrac{9}{25} \cdot 577 + \dfrac{169 \cdot 3}{25}} = \sqrt{\dfrac{5\space193 + 507}{25}} = \sqrt{\dfrac{5\space700}{25}} = \sqrt{228} = 2\sqrt{57}$$

Площадь треугольника $KEF$:
$$S_{KEF} = \dfrac{1}{2} \cdot EF \cdot KH = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot 2\sqrt{57} = 10\sqrt{57}$$ Ответ:
$а)$ Объем пирамиды $KAEF$ составляет $\dfrac{5}{12}$ от объема пирамиды $SABC.$
$б)$ Площадь сечения равна $10\sqrt{57}.$