ЕГЭ
КАРТОЧКИ
ТЕСТЫ
ОБРАЧАТ
Главная
Занятия
Куратор
Подписка
14. Стереометрическая задача: #210544
Все ребра правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны $10.$ Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O,$ пересекает ребра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN : ND = 2 : 3.$
$а)$ Покажите, что точка $M$ — середина ребра $SC.$
$б)$ Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC.$
$а)$ Прямая $SA$ параллельна плоскости $OMN,$ так как плоскость проведена параллельно $SA$ через точку $O.$ Прямые $SA$ и $OM$ лежат в одной плоскости $SAC,$ поэтому они параллельны. В треугольнике $SAC$ точка $O$ — середина диагонали $AC$ основания, следовательно, $OM$ является средней линией. Таким образом, точка $M$ — середина ребра $SC.$
$б)$ Пусть плоскость $OMN$ пересекает ребро $BC$ в точке $K.$ Найдем длину отрезка $MK.$ Так как $N$ делит $SD$ в отношении $2:3,$ то $SN = 4$ и $ND = 6.$ Проведем через точку $N$ прямую, параллельную $SA,$ до пересечения с $AD$ в точке $E.$ Из подобия треугольников $SAD$ и $NED$ получаем:
$$\dfrac{DE}{DA} = \dfrac{DN}{DS} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$$ значит $DE = 6$ и $EA = 4.$
Точка $O$ — центр квадрата, поэтому $K$ симметрична $E$ относительно $O,$ и $KC = EA = 4.$ В треугольнике $SBC$ все стороны равны $10,$ так как все ребра пирамиды равны. Точка $M$ — середина $SC,$ поэтому $MC = 5.$ Угол $SCB = 60^\circ,$ так как треугольник $SBC$ равносторонний. По теореме косинусов в треугольнике $MCK$:
$$MK^2 = MC^2 + KC^2-2 \cdot MC \cdot KC \cdot \cos 60^\circ = 25 + 16-2 \cdot 5 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 41-20 = 21$$ Следовательно, $MK = \sqrt{21}.$
Ответ:
$а)$ Точка $M$ — середина ребра $SC.$
$б)$ Длина отрезка равна $\sqrt{21}.$
20