15. Стереометрическая задача: #210525

$а)$ Проведем отрезок $BH$ — высоту треугольника $SBC$. Треугольники $SBC$ и $SDC$ равны, поэтому отрезок $DH$ — высота треугольника $SDC$. Тогда плоскость $BHD$ по признаку перпендикулярна прямой $SC$. Кроме того, точка $O$ лежит в этой плоскости, следовательно, плоскость $BHD$ совпадает с плоскостью $\alpha$.

$б)$ Выразим площадь равнобедренного треугольника $BHD{:}$
$$S_{BHD} = \dfrac{1}{2} \cdot OH \cdot BD \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \cdot OH \cdot \sqrt{1^2 + 1^2} = \dfrac{\sqrt{2}}{3} \Leftrightarrow OH = \dfrac{2}{3}$$

Прямая $OH$ перпендикулярна прямой $SC,$ поскольку лежит в плоскости $BDH.$ Тогда:
$$HC^2 = \left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 -\left( \dfrac{2}{3} \right)^2 = \dfrac{1}{2} -\dfrac{4}{9} = \dfrac{1}{18}$$
откуда $HC = \dfrac{\sqrt{2}}{6}.$

По свойству прямоугольного треугольника $SC \cdot HC = OC^2,$ откуда $SC \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{6} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow SC = \dfrac{3}{\sqrt{2}}.$

Отрезок $SH$ равен $SC -HC = \dfrac{3}{\sqrt{2}} — \dfrac{\sqrt{2}}{6} = \dfrac{9 -1}{3\sqrt{2}} = \dfrac{8}{3\sqrt{2}}.$ Значит, искомая плоскость делит ребро $SC$ в отношении:
$$\dfrac{SH}{HC} = \dfrac{\dfrac{8}{3\sqrt{2}}}{\dfrac{\sqrt{2}}{6}} = \dfrac{8}{3\sqrt{2}} \cdot \dfrac{6}{\sqrt{2}} = \dfrac{48}{6} = 8$$ Ответ:
а) Плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D.$
б) Плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$ в отношении $8:1,$ считая от вершины $S.$