15. Стереометрическая задача: #210522

$а)$ $OL$ — средняя линия треугольника $SAC$, поэтому $LO \parallel AS.$
Так как пирамида правильная, $AS \perp BD$ (по теореме о трех перпендикулярах: проекция $AS$ на плоскость основания — $AO \perp BD).$
Следовательно, $LO \perp BD,$ а значит, $LO \perp BO.$

$б)$ Пусть $AS = a$. Тогда:
$$BO = \dfrac{1}{2} BD = 4\sqrt{2}$$
$$OL = \dfrac{a}{2}$$

Тангенс угла между прямыми $BL$ и $SA{:}$
$$\text{tg } \angle (BL, SA) = \dfrac{BO}{OL} = \dfrac{4\sqrt{2}}{a/2} = \dfrac{8\sqrt{2}}{a} = 2\sqrt{\dfrac{2}{5}}$$

Отсюда:$$\dfrac{8\sqrt{2}}{a} = 2\sqrt{\dfrac{2}{5}}$$ $$a = \dfrac{8\sqrt{2}}{2\sqrt{\dfrac{2}{5}}} = 4\sqrt{5}$$

Высота боковой грани:
$$h = \sqrt{a^2 -\left(\dfrac{AB}{2}\right)^2} = \sqrt{80 — 16} = 8$$

Площадь поверхности пирамиды:
$$S = S_{\text{осн}} + 4 \cdot S_{\text{бок}} = 8^2 + 4 \cdot \dfrac{8 \cdot 8}{2} = 64 + 128 = 192$$ Ответ:
а) Прямые $BO$ и $LO$ перпендикулярны.
б) Площадь поверхности пирамиды равна $192.$