15. Стереометрическая задача: #195827

Дана треугольная пирамида $SABC{:}$

Основание высоты $SO$ — середина отрезка $CH$ (высоты $\triangle ABC).$
Даны длины: $AB = 25$, $AC = 10$, $BC = 5\sqrt{13}$, $SC = 3\sqrt{10}.$

$а)$ Доказательство равенства.

$1.$ По теореме о трех перпендикулярах:
$SH \perp AB.$
$AS^2 = SH^2 + AH^2.$
$BS^2 = SH^2 + BH^2.$
Следовательно: $AS^2-BS^2 = AH^2-BH^2.$

$2.$ Для основания:
$AC^2 = AH^2 + CH^2.$
$BC^2 = BH^2 + CH^2.$
Следовательно: $AC^2-BC^2 = AH^2 — BH^2.$

$3.$ Из $п.1$ и $п.2$ получаем:
$$AC^2-BC^2 = AS^2-BS^2$$

$б)$ Вычисление объема пирамиды:

$1.$ Найдем высоту $CH$ треугольника $ABC$:

$$AC^2-AH^2 = BC^2-BH^2 $$ $$10^2-x^2 = (5\sqrt{13})^2-(25-x)^2 $$ $$ 100-x^2 = 325-625 + 50x-x^2 $$ $$x = AH = 8 $$ $$CH = \sqrt{AC^2-AH^2} = \sqrt{100-64} = 6$$

$2.$ Найдем высоту пирамиды $SO$: $$ CO = \frac{CH}{2} = 3 $$ $$ SO = \sqrt{SC^2-CO^2} = \sqrt{90-9} = 9 $$ $3.$ Вычислим объем: $$V = \frac{1}{3} \cdot S_{ABC} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{25 \cdot 6}{2} \cdot 9 = 225$$

Ответ:
$а)$ Доказано равенство $AC^2-BC^2 = AS^2-BS^2.$

$б)$ Объем пирамиды равен $225.$