14. Стереометрическая задача: #195819

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$:
Сторона основания $AB = BC = AC = 16.$
Высота пирамиды $SH = 10.$
Точка $K$ — середина ребра $AS.$
Плоскость через $K$, параллельная $ABC$, пересекает $SB$ в $Q$ и $SC$ в $P.$

$а)$ Доказательство отношения площадей:

$1.$ Так как плоскость $KQP \parallel ABC$, то:
$KQ \parallel AB$ (по свойству параллельных плоскостей).
$KP \parallel AC.$

$2.$ Точка $K$ — середина $AS.$
$Q$ — середина $SB.$
$P$ — середина $SC.$

$3.$ Отношение площадей:
$\triangle SQP \sim \triangle BSC$ с коэффициентом $\dfrac{1}{2}.$
$$S_{SQP} = \frac{1}{4}S_{BSC}$$ $$S_{PQRC} = S_{BSC}-S_{SQP} = \frac{3}{4}S_{BSC}$$

$б)$ Вычисление объема пирамиды $KBQPC$:

$1.$ Объем исходной пирамиды:
$$V_{SABC} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 16^2 \cdot 10 = \frac{640\sqrt{3}}{3}$$

$2.$ Отношение объемов:

Высота $KBQPC$ в $2$ раза меньше $($ $\dfrac{10}{2} = 5).$
Площадь основания относится как $3 : 4.$
$V_{KBQPC} = \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot V_{SABC} = \dfrac{3}{8}V_{SABC}.$


$3.$ Итоговый объем:
$$V_{KBQPC} = \dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{640\sqrt{3}}{3} = 80\sqrt{3}$$

Ответ:
$а)$ Площади относятся как $3 : 4.$
$б)$ Объем пирамиды равен $80\sqrt{3}.$