14. Стереометрическая задача: #210533

$а)$ Пусть прямая $MN$ пересекает ребро $AB$ в точке $K.$ По теореме Менелая для треугольника $ABC$ и прямой $KM$:
$$\dfrac{CM}{MA} \cdot \dfrac{AK}{KB} \cdot \dfrac{BN}{NC} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{2}{4} \cdot \dfrac{AK}{KB} \cdot \dfrac{8}{2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{AK}{KB} = \dfrac{1}{2}$$ откуда $AK = 2$ и $KB = 4.$ Заметим далее, что углы $ACS$ и $BAS$ равны, а также $AK = CM = 2,$ $AS = CS = 7$ из условия. Следовательно, треугольники $ASK$ и $CSM$ равны, а потому равны и отрезки $SK$ и $SM.$ Таким образом, искомое сечение — треугольник $SKM$ — является равнобедренным по определению.

$б)$ По теореме косинусов в равнобедренном треугольнике $SAB{:}$
$$\cos \angle SAK = \dfrac{AB}{2AS} = \dfrac{6}{14} = \dfrac{3}{7} = \cos \angle MCS$$ Аналогично для треугольников $SMC$ и $AKM$ получаем:
$$SK = SM = \sqrt{CM^2 + SC^2 -2 \cdot CM \cdot SC \cdot \cos \angle MCS} = \sqrt{4 + 49 -2 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \dfrac{3}{7}} = \sqrt{53 -12} = \sqrt{41}$$
$$MK = \sqrt{AK^2 + AM^2 -2 \cdot AK \cdot AM \cdot \cos 60^\circ} = \sqrt{4 + 16 -2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2}} = \sqrt{20 -8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

Высоту $SH$ треугольника найдем по теореме Пифагора для треугольника $SHM{:}$
$SH = \sqrt{SM^2- \left( \dfrac{MK}{2} \right)^2} = \sqrt{41- 3} = \sqrt{38}.$

Наконец, найдем площадь сечения:
$$S_{SKM} = \dfrac{1}{2} \cdot \sqrt{38} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{114}$$ Ответ:
$а)$ Сечение является равнобедренным треугольником.
$б)$ Площадь сечения равна $\sqrt{114}.$