26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #207984

Обоснование.

Систему отсчета свяжем с Землей, считая ее инерциальной.
Шарики движутся поступательно, поэтому их можно рассматривать как материальные точки.
Сопротивлением воздуха пренебрегаем, поэтому движение шариков до столкновения описывается законами равноускоренного движения в поле тяжести Земли.
При столкновении внутренние силы взаимодействия значительно превышают силу тяжести, поэтому можно применить закон сохранения импульса.

Движение шариков до столкновения.

Введем систему координат: ось $ OX $ — горизонтальная, ось $ OY $ — вертикальная вверх. Начало координат — точка старта первого шарика.

Для первого шарика (брошенного под углом $ \alpha $):
$$ y_1(t) = v_0 \sin \alpha \cdot t- \frac{g t^2}{2}$$ $$ v_{y1}(t) = v_0 \sin \alpha- g t$$
Для второго шарика (падающего из состояния покоя):
$$ v_{y2}(t) = -g t$$

Условие столкновения.

После неупругого столкновения скорость шариков направлена горизонтально, значит, вертикальная составляющая скорости равна нулю:
$$m v_{y1} + m v_{y2} = 0$$Отсюда:$$ v_{y1} = -v_{y2}$$ Подставляем выражения для $ v_{y1} $ и $ v_{y2} $:
$$ v_0 \sin \alpha- g t = g t$$ Находим время до столкновения $ \tau_1 $:
$$ \tau_1 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g}$$

Высота столкновения.

Подставляем $ \tau_1 $ в выражение для $ y_1(t) $:
$$ h = y_1(\tau_1) = v_0 \sin \alpha \cdot \tau_1- \frac{g \tau_1^2}{2}$$
После подстановки:
$$ h = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}- \frac{g v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g^2} = \frac{3 v_0^2 \sin^2 \alpha}{8g}$$

Время падения после столкновения.

После столкновения вертикальная скорость шариков равна нулю, поэтому время падения $ \tau_2 $ определяется из уравнения свободного падения:
$$ h = \frac{g \tau_2^2}{2}$$ Отсюда:
$$ \tau_2 = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{3 v_0^2 \sin^2 \alpha}{4g^2}} = \frac{v_0 \sin \alpha \sqrt{3}}{2g}$$

Общее время падения:$$ \tau = \tau_1 + \tau_2 = \frac{v_0 \sin \alpha}{2g} + \frac{v_0 \sin \alpha \sqrt{3}}{2g} = \frac{(1 + \sqrt{3}) v_0 \sin \alpha}{2g}$$

Ответ: $\tau = \frac{(1 + \sqrt{3}) v_0 \sin \alpha}{2g}.$