26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #207987

Обоснование.

Систему отсчета связываем с Землей, считая ее инерциальной.
Тело рассматриваем как материальную точку, так как его размеры малы по сравнению с радиусом полусферы.
Поскольку полусфера гладкая, сила трения отсутствует, и работа силы реакции опоры равна нулю (она перпендикулярна перемещению).
Механическая энергия системы сохраняется.
В момент отрыва сила реакции опоры $ N $ обращается в ноль.

Закон сохранения энергии.

В начальный момент (верхняя точка полусферы) тело обладает только потенциальной энергией:
$$E_1 = mgR$$ В момент отрыва тело имеет кинетическую и потенциальную энергию. Пусть $ h $ — высота точки отрыва над основанием полусферы:$$ E_2 = \frac{mv^2}{2} + mgh$$ По закону сохранения энергии:
$$mgR = \frac{mv^2}{2} + mgh \quad (1)$$

Условие отрыва.

В момент отрыва сила реакции опоры $ N = 0 .$ На тело действует только сила тяжести $ mg ,$ проекция которой на радиальное направление равна $ mg \cos \theta ,$ где $ \theta $ — угол между вертикалью и радиусом, проведенным к точке отрыва.

Центростремительное ускорение тела:$$ a = \frac{v^2}{R}$$ По второму закону Ньютона:
$$ mg \cos \theta = m \frac{v^2}{R} \quad (2)$$ Из геометрии задачи:
$$ \cos \theta = \frac{h}{R} \quad (3)$$

Решение системы уравнений.

Подставляем $(3)$ в $(2)$:$$mg \frac{h}{R} = m \frac{v^2}{R} \implies v^2 = gh \quad (4)$$ Подставляем $(4)$ в $(1)$:$$mgR = \frac{mgh}{2} + mgh$$ $$ \implies R = \frac{h}{2} + h \implies R = \frac{3h}{2} \implies h = \frac{2R}{3} $$ Подставляем $ h $ обратно в $(4)$:$$ v^2 = g \cdot \frac{2R}{3} \implies v = \sqrt{\frac{2gR}{3}}$$

Численный расчет.

Подставляем значения $ g = 10 \, \text{м/с}^2 $ и $ R = 2.5 \, \text{м} $:
$$ v = \sqrt{\frac{2 \cdot 10 \cdot 2.5}{3}} = \sqrt{\frac{50}{3}} \approx 4.1 \, \text{м/с}$$

Ответ: $ v \approx 4.1 \, \text{м/с}.$