26. Механика: расчетная задача высокого уровня с обоснованием: #207981

Обоснование.

Задачу решаем в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей.
Трением о воздух пренебрегаем.
Время разрыва считаем малым, поэтому изменением потенциальной энергии и действием силы тяжести можно пренебречь.
Используем законы сохранения импульса и энергии.

Закон сохранения импульса:$$2m \cdot v_0 = m \cdot v_1 + m \cdot v_2$$где:
$2m = 4 \, \text{кг}$ — масса снаряда,
$m = 2 \, \text{кг}$ — масса каждого осколка,
$v_0 = 400 \, \text{м/с}$ — начальная скорость снаряда,
$v_1$ — скорость осколка, летящего вперед,
$v_2$ — скорость осколка, летящего назад.

Упрощаем уравнение:$$2v_0 = v_1 + v_2$$
Закон сохранения энергии:$$ \Delta E = \frac{mv_1^2}{2} + \frac{mv_2^2}{2}- \frac{2mv_0^2}{2}$$ где $\Delta E = 0.5 \cdot 10^6 \, \text{Дж}.$

Упрощаем:$$ \Delta E = \frac{m}{2} (v_1^2 + v_2^2- 2v_0^2)$$

Выражаем $v_2$ через $v_1.$
Из закона сохранения импульса:
$$ v_2 = 2v_0- v_1$$
Подставляем $v_2$ в уравнение энергии:
$$ \Delta E = \frac{m}{2} \left(v_1^2 + (2v_0- v_1)^2- 2v_0^2\right)$$
$$ \Delta E = \frac{m}{2} \left(v_1^2 + 4v_0^2- 4v_0v_1 + v_1^2- 2v_0^2\right)$$
$$ \Delta E = \frac{m}{2} (2v_1^2- 4v_0v_1 + 2v_0^2)$$
Делим на $2$:$$ \Delta E = m (v_1^2- 2v_0v_1 + v_0^2)$$
Замечаем полный квадрат:
$$ \Delta E = m (v_1- v_0)^2$$

Находим $v_1$:$$ v_1- v_0 = \sqrt{\frac{\Delta E}{m}}$$
Подставляем значения:$$ v_1 = v_0 + \sqrt{\frac{0.5 \cdot 10^6}{2}} = 400 + \sqrt{0.25 \cdot 10^6}$$ $$ = 400 + 500 = 900 \, \text{м/с}$$

Ответ: $v_1 = 900 \, \text{м/с}.$