18. Планиметрическая задача: #197722

$а)$ Докажем параллельность $AB$ и $DE.$

$1.$ Проведем общую касательную к окружностям в точке касания $C.$

$2.$ По свойству угла между касательной и хордой: $$\angle DCB = \angle \alpha \quad \text{и} \quad \angle ACE = \angle \alpha$$
$3.$ Из равнобедренного треугольника $ABC$: $$\angle CAB = \angle CBA = 45^\circ$$
$4.$ Рассмотрим углы: $$\angle DBA = \angle DBC- \angle ABC = \alpha- 45^\circ$$ $$\angle BAE = \angle BAC- \angle EAC = 45^\circ- \alpha$$
$5.$ Следовательно:
$$\angle DBA + \angle BAE = 0 \Rightarrow AB \parallel DE$$

$б)$ Найдем длину $AC = x.$

$1.$ Так как $BD$ и $AE$ — диаметры: $$BD = 16, \quad AE = 30$$
$2.$ Из подобия треугольников $DBC$ и $AEC$: $$\frac{DB}{AE} = \frac{8}{15} \Rightarrow \frac{CB}{CE} = \frac{8}{15}$$ $$CE = \frac{15}{8}x$$
$3.$ По теореме Пифагора для $\triangle ACE{:}$ $$x^2 + \left(\frac{15}{8}x\right)^2 = 30^2$$ $$x^2 \left(1 + \frac{225}{64}\right) = 900$$ $$x^2 = \frac{900 \cdot 64}{289} = \left(\frac{240}{17}\right)^2$$ $$x = \frac{240}{17}$$

Ответ:
$а)$ Прямые $AB$ и $DE$ параллельны, так как сумма внутренних односторонних углов равна $180^\circ.$

$б)$ Длина катета $AC$ равна $\dfrac{240}{17},$ что получено через подобие треугольников и теорему Пифагора.