18. Планиметрическая задача: #197721

$а)$ Докажем подобие треугольников $BMK$ и $O_1AO_2.$

$1.$ Рассмотрим углы:

$\angle AKB = \dfrac{1}{2}\angle AO_2B$ (вписанный угол).
$\angle AO_2O_1 = \dfrac{1}{2}\angle AO_2B$ (центральный угол).
Следовательно, $\angle AKB = \angle AO_2O_1$.

$2.$ Аналогично:

$\angle AMB = \dfrac{1}{2}\angle AO_1B$ (вписанный угол).
$\angle AO_1O_2 = \dfrac{1}{2}\angle AO_1B$ (центральный угол).
Следовательно, $\angle BMK = \angle AO_1O_2.$

$3.$ Таким образом, треугольники подобны по двум углам: $$\triangle BMK \sim \triangle O_1AO_2$$

$б)$ Найдем расстояние от $B$ до $MK$.

$1.$ Проверим тип треугольника $O_1AO_2{:}$ $$3^2 + 4^2 = 5^2 \Rightarrow 9 + 16 = 25$$
Следовательно, $\triangle O_1AO_2$ прямоугольный с прямым углом при вершине $A$.
$2.$ Найдем высоту в $\triangle O_1AO_2{:}$ $$h = \frac{AO_1 \cdot AO_2}{O_1O_2} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5}$$
$3.$ Коэффициент подобия: $$k = \frac{MK}{O_1O_2} = \frac{7}{5}$$
$4.$ Искомое расстояние: $$d = k \cdot h = \frac{7}{5} \cdot \frac{12}{5} = \frac{84}{25}$$

Ответ:
$а)$ Треугольники $BMK$ и $O_1AO_2$ подобны по двум углам, так как $\angle BMK = \angle AO_1O_2$ и $\angle BKM = \angle AO_2O_1$.

$б)$ Расстояние от точки $B$ до прямой $MK$ равно $\dfrac{84}{25},$ что получено через подобие треугольников и свойства прямоугольного треугольника.