Карточки
Тесты
Главная
Курсы
Подписка
18. Планиметрическая задача: #197720
Две окружности касаются внутренним образом в точке $A,$ причем меньшая окружность проходит через центр $O$ большей. Диаметр $BC$ большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке $M$. Лучи $AO$ и $AM$ пересекают большую окружность в точках $P$ и $Q$ соответственно. Точка $C$ лежит на дуге $AQ,$ не содержащей $P.$
$а)$ Доказать, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.
$б)$ Найти отношение $QK : KA,$ если $\sin \angle AOC = \dfrac{\sqrt{15}}{4}$ и $K$ — точка пересечения $PC$ и $AQ.$
$а)$ Докажем параллельность $PQ$ и $BC.$
$1.$ Угол $\angle AQP = 90^\circ$ (опирается на диаметр $AP$ большой окружности).
$2.$ Угол $\angle AMO = 90^\circ$ (опирается на диаметр $AO$ малой окружности).
$3.$ Так как $BC$ — диаметр, то $BC \perp AQ.$
$4.$ Поскольку $PQ \perp AQ$ и $BC \perp AQ,$ то: $$PQ \parallel BC$$
$б)$ Найдем отношение $QK : KA.$
$1.$ Из параллельности $PQ \parallel BC$ следует: $$\angle APQ = \angle AOC$$
$2.$ Так как $C$ — середина дуги $AQ,$ то $PC$ — биссектриса угла $\angle APQ.$
$3.$ По свойству биссектрисы: $$\frac{QK}{KA} = \frac{QP}{PA}$$
$4.$ Из прямоугольного треугольника $APQ$: $$\frac{QP}{PA} = \cos \angle APQ = \cos \angle AOC = \sqrt{1- \sin^2 \angle AOC} = \sqrt{1- \frac{15}{16}} = \frac{1}{4}$$ Ответ:
$а)$ Прямые $PQ$ и $BC$ параллельны, так как обе перпендикулярны прямой $AQ.$
$б)$ Отношение $QK : KA$ равно $1 : 4,$ что следует из свойств биссектрисы и тригонометрических соотношений в окружностях.
20
