18. Планиметрическая задача: #197719

$а)$ Докажем параллельность прямых $AD$ и $MC$.

$1.$ Углы, опирающиеся на диаметры:
$$\angle BMC = 90^\circ \quad \text{(опирается на диаметр $BC$)}$$ $$\angle BDA = 90^\circ \quad \text{(опирается на диаметр $AB$)}$$ $2.$ Оба угла являются прямыми и опираются на отрезок $MB$, следовательно: $$AD \perp MB \quad \text{и} \quad MC \perp MB$$ $3.$ Таким образом: $$AD \parallel MC$$

$б)$ Найдем площадь треугольника $DBC.$

$1.$ Обозначим: $$AM = AK + KM = 3 + 12 = 15$$
$2.$ Пусть $O$ — центр окружности с диаметром $BC$, тогда: $$OM \perp AM \quad \text{(как радиус к касательной)}$$ $$BK \perp AM \quad \text{(так как $\angle ABK = 90^\circ$)}$$
$3.$ Из подобия треугольников $\triangle AMO \sim \triangle AKB{:}$ $$\frac{OM}{BK} = \frac{AM}{AK} = 5 \Rightarrow OM = 5x, BK = x$$
$4.$ Рассмотрим прямоугольник $BKMP$: $$BP = KM = 12$$ $$OP = OM- BK = 4x$$
$5.$ По теореме Пифагора для $\triangle BOP$: $$(5x)^2 = 12^2 + (4x)^2 \Rightarrow 25x^2 = 144 + 16x^2$$ $$9x^2 = 144 \Rightarrow x = 4$$
$6.$ Площадь треугольника $DBC$ равна площади треугольника $AMB$: $$S_{DBC} = S_{AMB} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BK = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 4 = 30$$

Ответ:
$а)$ Прямые $AD$ и $MC$ параллельны, так как обе перпендикулярны прямой $MB$.

$б)$ Площадь треугольника $DBC$ равна $30$, что получено через анализ геометрических свойств окружностей и подобия треугольников.