18. Планиметрическая задача: #197717

$а)$ Докажем параллельность $KM$ и $BC.$

$1.$ Так как меньшая окружность проходит через центр $O$ большей окружности:
$$OA = 2r \quad \text{(диаметр меньшей окружности)}$$
где $r$ — радиус меньшей окружности

$2.$ Углы $\angle AKO$ и $\angle AMO$ прямые (опираются на диаметр), поэтому: $$OK \perp AB \quad \text{и} \quad OM \perp AC$$
$3.$ Следовательно:
$$K \text{ — середина } AB$$ $$M \text{ — середина } AC$$
$4.$ Отрезок $KM$ — средняя линия $\triangle ABC$, поэтому:
$$KM \parallel BC$$

$б)$ Найдем длину $AL$.
$1.$ Найдем расстояние от центра до хорды:
$$OH = \sqrt{OB^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2} = \sqrt{100-64} = 6$$
$2.$ Радиус меньшей окружности: $$r = \frac{OA}{2} = 5$$
$3.$ Положение точки $P$: $$OP = \sqrt{OH^2 + PH^2} = \sqrt{36 + 24} = \sqrt{60}$$
где $PH = \sqrt{r^2-(OH-r)^2} = \sqrt{25-1} = \sqrt{24}$
$4.$ Длина $AP$: $$AP = \sqrt{OA^2-OP^2} = \sqrt{100-60} = 2\sqrt{10}$$

$5.$ Так как $KM$ — средняя линия, то $L$ — середина $AP{:}$ $$AL = \frac{AP}{2} = \sqrt{10}$$

Ответ:
$а)$ Прямые $KM$ и $BC$ параллельны, так как $KM$ является средней линией треугольника $ABC.$

$б)$ Длина отрезка $AL$ равна $\sqrt{10},$ что получено через вычисление средней линии и свойства перпендикуляров в окружностях.