18. Планиметрическая задача: #211327

$а)$ Пусть $M$ и $N$ — середины оснований $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$. Отрезок $MN$ разбивает трапецию на две меньшие трапеции: $ABMN$ и $CDNM$. По условию, в каждую из них можно вписать окружность. Для описанной трапеции сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Поэтому:

Для трапеции $ABMN{:}$ $$AB + MN = BM + AN$$ Для трапеции $CDNM{:}$ $$CD + MN = MC + ND$$ Так как $M$ и $N$ — середины, то $BM = MC$ и $AN = ND.$ Вычитая второе равенство из первого, получаем:$$ (AB + MN)-(CD + MN) = (BM + AN) -(MC + ND) \Rightarrow AB -CD = 0 \Rightarrow AB = CD$$
Таким образом, трапеция $ABCD$ равнобедренная.

Так как в трапецию $ABMN$ можно вписать окружность, то суммы длин оснований равны: $$AB + MN = BM + AN$$

Известно: $BC = 8,$ значит, $BM = MC = 4$. Пусть $AN = x$, тогда $AD = 2x.$ Также известно, что радиус вписанной окружности равен $3$, поэтому высота трапеции $ABMN$ равна $2 \cdot 3 = 6.$ Таким образом, $MN = 6.$

Тогда: $$AB + 6 = 4 + x \Rightarrow AB = x -2$$ Опустим высоту $BK$ из точки $B$ на основание $AD.$ Тогда $AK = AN-KN = x -4,$ и из прямоугольного треугольника $ABK{:}$ $$AB^2 = BK^2 + AK^2 \Rightarrow (x- 2)^2 = 6^2 + (x -4)^2$$ Раскроем скобки: $$x^2 -4x + 4 = 36 + x^2 -8x + 16 \Rightarrow -4x + 4 = -8x + 52 \Rightarrow 4x = 48 \Rightarrow x = 12$$ Тогда $AB = 12-2 = 10.$

Теперь найдем радиус $r$ окружности, касающейся стороны $AB,$ основания $AN$ и вписанной окружности трапеции $ABMN$. Пусть искомая окружность с центром $O_1$ и радиусом $r$ касается вписанной окружности $($с центром $O$ и радиусом $3),$ стороны $AB$ и основания $AN.$

Введем координаты: поместим точку $A$ в начало координат, ось $AX$ направим по основанию $AN,$ ось $AY$ — перпендикулярно $AN.$ Тогда:
— Уравнение стороны $AB{:}$ проходит через точки $A(0,0)$ и $B(12,6)$ $($так как $AN=12,$ $BK=6),$ ее уравнение: $y = \dfrac{1}{2}x.$
— Уравнение основания $AN{:}$ $y = 0.$
— Вписанная окружность имеет центр $O(3,3)$ и радиус $3.$

Искомая окружность касается прямой $y=0,$ поэтому ее центр $O_1$ имеет координаты $(a, r).$ Она также касается прямой $y = \dfrac{1}{2}x,$ поэтому расстояние от $O_1$ до этой прямой равно $r{:}$ $$\dfrac{|\dfrac{1}{2}a -r|}{\sqrt{(\dfrac{1}{2})^2 + (-1)^2}} = r \Rightarrow \dfrac{|\dfrac{1}{2}a -r|}{\sqrt{\dfrac{5}{4}}} = r \Rightarrow |\dfrac{1}{2}a- r| = r \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2}$$ Кроме того, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов:$$\sqrt{(a-3)^2 + (r-3)^2} = 3 + r$$ Решая систему, получим: $$r = \dfrac{11 -2\sqrt{10}}{3}$$

Ответ:
$а)$ Трапеция $ABCD$ равнобедренная.
$б)$ Радиус окружности равен $\dfrac{11 -2\sqrt{10}}{3}.$