15. Стереометрическая задача: #195817

Дана правильная треугольная пирамида $SABC$:

$M$ — середина $AB.$
$N$ — середина $CS.$
Известно: $AS = 8$, $MN = 5.$

$а)$ Доказательство равенства проекций:

$1.$ В правильной пирамиде проекция $AS$ на $ABC$ — это $AO$ (где $O$ — центр основания).

$2.$ Проекция $MN$ состоит из:

Проекция $M$ — сама точка $M$ $($ середина $AB).$
Проекция $N$ — середина проекции $CS$, точка $P$ $($середина $CO).$

$3.$ Из симметрии: $MP = AO$, что доказывает равенство проекций.

$б)$ Вычисление объема пирамиды:

$1.$ Обозначим:
Высота пирамиды $SO = h.$
Половина высоты $NP = \dfrac{h}{2}.$

$2.$ Из равенства проекций и теоремы Пифагора:
$$ AS^2-SO^2 = MN^2-NP^2 $$ $$ 64-h^2 = 25-\frac{h^2}{4} $$ $$ h = 2\sqrt{13} $$
$3.$ Найдем параметры основания:
$$AO = \sqrt{AS^2-SO^2} = \sqrt{64-52} = 2\sqrt{3}$$ $$AB = \frac{AO}{\sin 60^\circ} \cdot 2 =6$$
$4.$ Объем пирамиды:
$$V = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 6^2 \cdot 2\sqrt{13} = 6\sqrt{39} $$

Ответ:
$а)$ Проекции отрезков $MN$ и $AS$ на плоскость $ABC$ действительно равны.
$б)$ Объем пирамиды равен $6\sqrt{39}.$