14. Стереометрическая задача: #195811

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ имеет:
Длину ребра основания $AB = BC = AC = 1.$
Длину бокового ребра $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 8\sqrt{3}.$
Точка $D$ — середина ребра $BB_1.$

$а)$ Доказательство равенства расстояний:

$1.$ В равностороннем треугольнике $ABC$ все высоты равны:
$$h = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$$ $2.$ Расстояние между $A_1D$ и $CC_1{:}$
Это расстояние равно высоте $CM$ треугольника $ABC$, так как $CC_1$ параллельна плоскости $AA_1B$, а $A_1D$ лежит в этой плоскости.

$3.$ Расстояние от $A$ до $BCC_1{:}$
Также равно высоте треугольника $ABC,$ так как плоскость $BCC_1$ параллельна ребру $AA_1.$

$б)$ Вычисление объема пятигранника $ABCA_1D{:}$

$1.$ Найдем высоту призмы:
$$CM = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

$2.$ Площадь основания $($трапеция $ABDA_1){:}$
$$BD = \frac{BB_1}{2} = 4\sqrt{3}$$ $$S = \frac{AA_1 + BD}{2} \cdot AB = \frac{8\sqrt{3} + 4\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = 6\sqrt{3}$$ $3.$ Объем пирамиды: $$V = \frac{1}{3} \cdot 6\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$$ Альтернативное решение:
Плоскость $CDA_1$ делит призму на две равные части, поэтому:
$$V = \frac{V_{\text{призмы}}}{2} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 1^2 \cdot 8\sqrt{3}}{2} = 3$$

Ответ:
$а)$ Расстояния действительно равны и составляют $\dfrac{\sqrt{3}}{2}.$
$б)$ Объем пятигранника равен $3.$