14. Стереометрическая задача: #195678

Правильная четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с параметрами:

Сторона основания $AB = 4.$
Боковое ребро $AA_1 = 6.$
Точка $K \in AA_1$: $AK : KA_1 = 1 : 2.$

$1.$ Построим сечение плоскостью $\alpha{:}$
$\alpha \parallel AC$ и проходит через точки $B$ и $K.$
Сечение — четырехугольник $KBNM$ $($ $N \in CC_1,$ $M \in DD_1).$

$2.$ Из свойств параллельности:
$KN \parallel AC$ $($так как $\alpha \parallel AC).$
$AKNC$ — прямоугольник $\Rightarrow AK = CN = \frac{1}{3}AA_1 = 2.$

$3.$ Рассмотрим проекции:
$OH$ — средняя линия $\triangle BDM,$ где $OH = AK = 2.$
Следовательно, $DM = 2OH = 4 = \dfrac{2}{3}DD_1.$


$4.$ Таким образом, $DM : MD_1 = 4 : 2 = 2 : 1.$

$б)$ Нахождение площади сечения.

$1.$ Вычислим элементы:
Диагональ основания $AC = 4\sqrt{2}.$
Длина $KN = AC = 4\sqrt{2}.$
Длина $BM = \sqrt{BD^2 + DM^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + 4^2} = \sqrt{32 + 16} = 4\sqrt{3}.$


$2.$ Площадь сечения:
$$S = \frac{KN \cdot BM}{2} = \frac{4\sqrt{2} \cdot 4\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{6}$$

Ответ:
$а)$ Отношение $DM : MD_1 = 2 : 1.$
$б)$ Площадь сечения равна $8\sqrt{6}.$